1. 单摆的模型

考虑如图所示的单摆：

表示摆杆的长度， 表示摆锤的质量。假设杆是硬质的且质量为零。用 表示杆与通过中心点的竖直轴间的夹角。单摆在竖直平面内自由摆动，摆锤以半径为的圆运动。为了写出单摆的运动方程，先来确定作用在摆锤上的力。有一个向下的重力，为重力加速度。还有一个阻碍运动的摩擦力，假设与摆锤的速度成正比，摩擦系数为。运用牛顿第二运动定律，可写出沿切线方向的运动方程：

为得到单摆的状态模型，我们取状态变量，状态方程为

假设我们能运用单摆的力矩，就可以得到单摆的方程如下

 

2. 控制器设计

我们期望单摆最终的状态量为，即单摆最终的状态是摆锤在最高点处静止。

定义期望的状态量为，可得误差为

定义正实数，有

可以得控制律

 

3. 仿真结果

基于龙格库塔法对上述模型、控制器进行仿真，初始角度和角速度是随机值。

 

4. 参考文献

[1] Khalil, Hassan K., and Jessy W. Grizzle. Nonlinear systems. Vol. 3. Upper Saddle River, NJ: Prentice hall, 2002.