探究白质纤维与大脑皮层surface的连接
研究生入学以来，一直在从事的一个工作，就是编写有关人脑内白质纤维与大脑皮层surface的交点的计算程序。由于在实际数据上测试的结果并不理想，不得不采用另外的方式来计算。大概花了两天时间用第二种方式更新了自己一年多的工作，还是有点感慨。工作总算可以告一段落了，撰文，以为记。
1.研究背景
人脑内有大量的白质，白质是中枢神经系统的重要组成成分，在中枢部，由神经元的轴突或长树突集聚而成。白质纤维用来传递神经信号，传导兴奋，与大脑各项工作息息相关。其中，白质纤维与大脑皮层surface，核团surface都有紧密的联系，探究白质纤维与surface哪些区域有连接，对于特异性研究纤维的功能，构建大脑结构网络、功能网络具有重要的意义。目前纤维追踪的方式一般是在volume上，从灰白质交界处设置种子点，进行纤维追踪。对于在皮层surface上，纤维具体会交于哪个点，目前并没有一套很好的算法去解决这个问题。在volume水平上，找出连接大脑区域之间的纤维的技术已经十分成熟。但也存在以下局限性：
•灰白质交界面的模糊性，导致纤维追踪过程的终点不明确，因此交点信息模糊。
•Atlas的配准,在volume水平下去配准到个体空间，偏差相对较大。
相比从volume层面,从surface层面，去探寻连接不同大脑区域的纤维连接，具有诸多优点：
•Atlas的配准,更精确，使得个体空间的分区信息更准确。
•交点、顶点信息更明确。
因此，本研究的主要内容就是：从surface层面，探究surface上指定区域间的纤维连接。
2.数学原理
2.1 fibre与surface的计算机形态学
在计算机中， 白质纤维可以看成是一系列离散的点构成的“直线”，surface是一个曲面，很多个三角面片构成。
2.2 交点求解
了解到fibre与surface的计算机形态学之后，实际上关于他们之间的交点计算，可以归结为一个直线与平面的交点计算的数学问题。如下图所示，问题归结为：通过纤维的端点和次端点构造射线，求该射线与三角形的交点。
当射线与三角形平行的时候，不存在交点，当射线与三角形所在的平面有交点时，如果交点在三角形内，是合理的结果，如果交点在三角形外，则应该舍弃。如下图所示。
然而，由于大脑surface具有沟回结构，surface具有褶皱，因此射线穿过surface的方向，也是需要考虑的。如下图所示。最终交点选定的是由内而外第一次穿过surface上的点。
整个思路的程序流程图如下：
3.数学计算过程
3.1 交点计算
求解纤维与surface相交的问题，其数学本质，就是求解射线与平面的交点问题。
设P是射线上任意一点，射线的起点为O，方向为R，则射线的方程可以表示为：
其中，向量N（A,B,C）可以看作该平面的一个法向量,D是原点（0,0,0）到平面的距离。如果射线与平面平行，则R与N的点乘为0，此时射线与平面没有交点。当射线与平面不平行时，则射线与平面相交，交点为P，那么P点的坐标满足射线方程和平面的方程，则有：
定义法向量的方向为正方向，为了保证t为正的时候，与法向量的方向一致，因此需要t的等式前加一个负号。此时，t值的正负与三角面片的位置关系如图所示。
因此射线的参数t为：
把t的值带入到射线方程，即得到交点P的坐标。
3.2 判断交点是否在三角面片内
由2中的分析可知，当射线与三角形不平行，一定可以通过联立射线和平面的方程求解，得到一个唯一的交点。但是，只有当这个交点在三角形封闭区域内，才是合理的结果。因此需要判断交点与三角形封闭区域的位置关系。
解释一下图中的结果，V0，V1，V2是三角形的三个顶点，P是交点，N是平面的法向量，假设取垂直于平面往外的方向为正方向（图中人背对的方向）。C是向量的叉乘：记为cross(PV0,V0V1),，叉乘计算，借助右手螺旋定则，需要将向量的起点放在一起。因此把C改写为：-cross(V0P,V0V1).右手螺旋定则简述为：伸出右手，四个手指由第一个向量转向第二个向量，此时，大拇指的方向即为这两个叉乘的结果的向量方向。图中的P点在三角形内部，因此cross(V0P,V0V1)的方向是垂直于平面向内，则 C=-cross(V0P,V0V1)垂直于平面朝外，与N的方向一致，因此N与C的点乘大于0。当分别以三角形的三个顶点，构建出C向量，并且N与C的点乘均大于0，那么P一定位于三角形内部。有一个小于0，P都会落在三角形外面。
3.3 选择射线穿过三角面片的方向
计算射线的起点与交点的距离，如果射线的方向与三角面片的法向量方向一致，记该距离为正，反之，为负。最后选择距离为正值且数值最小的点对应的交点，这个点作为射线与surface相交的交点。
4.函数设计
由于这块比较繁琐，略。
5.总结
写了那么多，最终被舍弃了。败给了实际数据的测试结果，最后采用距离的方式来求交点。以后有心情，再另起一篇吧。写的比较糙，有些图直接复制粘贴直接ppt里的图，很多细节都没有写进去。不想排版了，感兴趣的小伙伴可以私聊，也可以关注博主，日后将会不定期更新 Machine Learning 相关的博文，一起交流学习吧！