看待矩阵的另一个视角：系统

把矩阵看作一个系统。
例如在简化经济系统中，对IT，电子，矿产，房产的投资额度进行估算。 Xit , Xe , Xm , Xh
让这些投入额满足某些需求。
例如在对 IT 行业进行投入 ==> Xit = 100 + 0.2Xe + 0.1Xm + 0.5Xh ==> 在第二年IT行业至少需要投入100亿元，以及IT行业对电子，矿产，房产行业进行支撑的一个发展，即 0.2Xe 0.1Xm 0.5Xh

同理 Xe = 50 + 0.5Xit + 0.2Xm + 0.1Xh
Xm = 20 + 0.4Xe + 0.3Xh
Xh = 666 + 0.2Xit

将四个方程联立起来，就形成了方程组，即整个系统必须满足方程组所表达的条件。 ==> 这个方程组就表达了一个系统。

例如，在网络中应用（交通网络，信息网络…）

例如初始4个节点代表4个小区，各有100人，且都需要到一个地方去上班。假设交通部门需要观测，在整个的道路交通网络中，从这4个小区出发到工作地点，中间的各个路径相应的网络情况，进而就可以决定，在下次施工建设时，那些路可以拓宽一些，多增加路，多增加地铁站，公交站等。即需要了解在每2个节点中的流量是多少，设为x1 - x12 。
根据初始点以及流量和路径，可以列出相关的约束，方程组。

例如在第一个小区的100个人，他们出行的方式只有一条，那x1 = 100
而第二个小区的人可以有两条路径选择，那x2 + x3 = 100
…

在电路系统中

在化学方程式中

线性方程组在各个领域，都有着重要的应用
在线性代数中，称为线性系统

例如在第一个例子中，每一个方程式前都有一个系数，把这些系数提取出来就是一个矩阵。

等号右侧部分，直接提取出一个列向量。

通过这样的方式就可以让一个线性方程组转换为一个矩阵和一个向量的关系。

矩阵和向量的乘法

A . x = b

矩阵的每一行的每一个元素与向量的列中的每一个元素，相乘之后再相加即点乘运算。

前提条件：矩阵A的列数必须和向量u的元素个数一致！

矩阵A的行数没有限制

使用行视角看待矩阵的乘法。

使用另一个视角看待矩阵和向量的乘法。
T x a = b

即矩阵T实际上将向量a转换成了向量b，可以把矩阵理解成为向量的函数！ ==> 这个函数所接收的参数是一个向量。

矩阵在图形变换中的应用 & 矩阵和矩阵的乘法

在之前提到，矩阵的数量乘法在二维坐标系中是对一个图形进行缩放。
但如果是让横坐标扩大1.5倍，纵坐标扩大2倍，那应该如何解决？
一个（x , y）坐标 需要转换成 ==> （1.5x , 2y）
需要找到一个变化矩阵 T ,满足 T x (x,y) = (1.5x,2y)
在该情况下，T的列数和行数都需要为2


在二维坐标图形中，有很多点。如果把每一个点都化成一个向量，然后再用这个矩阵T去和每一个点进行乘法操作，这样是可行的。
不过有没有更简单、更批量化的做法呢？
==> 即把所有的点坐标集合在一起，合成一个矩阵P就可以了

在矩阵P中，每一列代表一个点坐标。
那这个问题就转换成为了将两个矩阵相乘的问题。
==> T . P ，矩阵T将矩阵P中的所有坐标都转换成为一个新的坐标。

其实与矩阵和向量的相乘是一样的。用矩阵T中的每一行去逐步乘以矩阵P中的一列，并将结果相加。

矩阵A的列数必须与矩阵B中的行数一致！
A是m行 * k列的矩阵；B是k行 * n列的矩阵，则A.B的结果矩阵为m行 * n列的矩阵

注意：矩阵乘法不遵守交换律！
很可能根本不能相乘，即使可以相乘，结果也不一样！