特征值和特征向量是线性代数中十分关键的一部分内容。

概念

特征值和特征向量都是方阵的属性。描述的是方阵的特征，同时特征值和特征向量表征是当方阵做变换时候的一个特征。具体举例如下，

以一个向量在两个空间坐标系中的转换为例，给出空间基向量的矩阵，一个是标准基，另一个是$A$A，

对于一些向量，满足如下特点，

总结为一个向量经过坐标转换后对应的向量与其本身相比方向不变，是其某个倍数。这种向量$\vec{u}$u称为$A$A矩阵对应于$\lambda$λ的特征向量，相应的倍数称为$A$A矩阵的特征值。

求解特征值和特征向量

对于 $A\vec{u} = λ\vec{u}$Au=λu而言，零向量在任何情况下是肯定满足的，即零向量是一个平凡解。所以，特征向量不考虑零向量。

但是，$λ=0$λ=0并不平凡，当$λ=0$λ=0时， $A\vec{u} = 0$Au=0是一个齐次线性方程组。回顾之前的知识，如果矩阵$A$A可逆，则 $A\vec{u}=0$Au=0这个线性系统的$\vec{u}$u只有零解，但零向量不考虑在特征向量中，所以$\vec{u}$u不为零向量。故此时$A$A不可逆。所以特征值可以为0。

计算过程

方程有非零解对应的就是向量$\vec{u}$u不是零向量，回顾之前矩阵可逆的一系列等价命题，

因为此时$\vec{u}≠0$u̸​=0，所以方阵$A$A不可逆，对应着如上所有命题的逆命题，其中与计算相关的还有一个命题就是矩阵$A$A的行列式在$A$A不可逆时为0。所以求取特征值和特征向量就转化为一个求取行列式的问题，
$det(A-\lambda I)=0$det(A−λI)=0
这也就是行列式是求取特征值和特征向量的基础的原因。上面的方程中只有$λ$λ一个未知数，对于所有的矩阵$A$A都是适用的，所以上面的方程也称为特征方程。

以上面笔记中的$A$A矩阵为例，
$|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}4-\lambda&-2\\1&1-\lambda\end{vmatrix}\\=(4-\lambda)(1-\lambda)-(-2)\\=\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3)=0$∣A−λI∣=∣∣∣∣​4−λ1​−21−λ​∣∣∣∣​=(4−λ)(1−λ)−(−2)=λ2−5λ+6=(λ−2)(λ−3)=0
可得，
$\lambda_1=2\\\lambda_2=3$λ1​=2λ2​=3
对于每一个特征值求取特征向量，该过程就是一个求取线性系统解的过程，

对于一个特征值$λ$λ而言，特征向量是不唯一的，有无数个。

基于上面的推导，也将矩阵可逆的等价命题补全，

相关概念

1. 若$\vec{u}$u是$A$A对应于$λ$λ的一个特征向量，则$k\vec{u}$ku也是一个特征向量（$k≠0$k̸​=0）
   对该结论进行证明，
   $A(k\vec{u})=k(A\vec{u})=k(\lambda \vec{u})=\lambda(k\vec{u})$A(ku)=k(Au)=k(λu)=λ(ku)
2. $(A-λI)\vec{u}=0$(A−λI)u=0可以视为特征向量构成了 $A-λI$A−λI 零空间（刨除零向量），此时 $Eλ = {O}∪{λ的特征向量}$Eλ=O∪λ的特征向量，$Eλ$Eλ称为$λ$λ对应的特征空间。
3. 计算$λ$λ的过程中， $det(A-λI)=0$det(A−λI)=0是一个关于$λ$λ的$n$n次方程，对应$λ$λ存在$n$n个解。
   如果$n$n维矩阵$A$A有$n$n个特征值，即$n$n个实数解，且每个解各不相同，则称为简单特征值。
   如果特征方程得到的n个特征值有相同的值存在的情况，此时的特征值称为多重特征值。
   如果特征方程在实数范围内没有解，但是在复数范围内存在解，则称特征值为复数特征值。
   

特征值与特征向量的性质

特殊方阵的特征值和特征向量

1. 对角矩阵
   
   对角矩阵的特征值计算时根本无需求解矩阵的特征方程，对角线上的每个元素都是一个特征值。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵
   
   上三角矩阵和下三角矩阵计算行列式的方式与对角矩阵相同，所以其特征值也和对角矩阵是一样的。

若λ是方阵A的特征值，则λ^m是A^m的特征值

对这一问题的证明分为两种情况

1. $m≥1$m≥1时，
   
2. $m=-1$m=−1时，此时$A^{-1}$A−1是矩阵$A$A的逆
   

如果矩阵A含有两个不同的特征值，则他们对应的特征向量是线性无关的