矩阵乘法的多种理解形式（硬件设计的基础）（FPGA）

1、外积和内积：

（1）内积：一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积 ，又叫作点积，结果是一个数：；

（2）外积：一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积 ，外积是一种特殊的克罗内克积（克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算），结果是一个矩阵，；

2、矩阵乘法的变换理解：

       矩阵是由向量组成的，将矩阵乘法转换为向量乘法，是从多种角度理解矩阵乘法的精髓。

        我们对一个矩阵A（假设行和列均为2），可以把它看作由两个行向量组成的列向量 ，或者是由两个列向量组成的行量，其中 表示列向量，表示行向量。

        这样矩阵A和矩阵B的乘积按照不同形式分解，就可以组成四种方式。

（1）A是由行向量组成的列向量，B是由列向量组成的行向量（逐个算出结果矩阵里的每个点，这是最传统的、最经典的、最基本的理解方式）：

                                                                          

        此时AB乘积变为了两个新的向量的外积形式：

        这里面每一个都是一个向量，因此就是一个内积,计算结果就是AB矩阵第i行第j列中的元素。因此，我们可以看到，矩阵乘积是两个向量的外积，并且所得到的外积矩阵中的每一个元素是一个内积。

       例子如下(（N*1）*(1*N)=(N*N) )：

       最后的N*N维的结果矩阵，是分别算出结果矩阵的每一个值，得到结果矩阵。

（2）、 A是由列向量组成的行向量，B是由行向量组成的列向量（把结果矩阵分解成多个矩阵，分别求出后累加得到结果矩阵）：

       此时AB乘积变为了两个新的向量的内积形式。按照内积定义我们有：

       注意到是一个外积形式，因为是一个列向量，是一个行向量，因此C是由各个外积矩阵相加得到的。

       例子如下(（N*N）*(N*1)=(N*1) )：

       最后的N*1维的结果矩阵，是由N个(N*1)维的矩阵累加得到的。

（3）、 A是由列向量组成的行向量，B也是由列向量组成的行向量：

       令C = AB， 我们考虑C的每一个列向量（C也是由列向量组成的行向量）:

       同理：

       因此，矩阵C的每一个列向量，是A的列向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一列都存在于A的列向量空间内。

（4）、 A是由行向量组成的列向量，B也是由行向量组成的列向量：

     我们现在考虑C的每一个行向量（C也是由行向量组成的列向量）:

      同理：

       因此，矩阵C的每一个行向量，是B的行向量的一个线性组合，该线性组合中的系数是的各个元素。从这个角度说C的每一个行向量都存在于B的行向量空间内。

3、总结：

       （1）方式先将A抽象为列向量，将B抽象为行向量，从而将矩阵乘法变为了一种外积的形式，而外积矩阵中的每一个元素是一个行向量和一个列向量的内积。这种方式每次得到C的一个元素。

       （2）方式先将A抽象为行向量，将B抽象为列向量，从而将矩阵乘法变为了一种内积形式，内积的各个组成部分又是一个外积。这种方式每次不是得到C的一个元素，而是将C看作是多个矩阵相加组成的，每次计算得到一个加数矩阵。

       （3）方式，C的列向量存在于A的列向量空间内，A乘以B相当于是对A进行了列变换。

       （4）方式，C的行向量存在于B的列向量空间内，A乘以B看作是对B进行了行变换。

         由（3）（4）看出，如果想对一个矩阵进行行变换，可以左乘一个矩阵；相应的如果想对矩阵进行列变换，可以右乘一个矩阵。

       矩阵乘积到底是什么？？？

       它是一个外积，外积矩阵的每一个元素是一个内积， 

       它是一个内积，内积的每个成分是一个外积，

       它是列向量组成的行向量，每个列向量是A的列空间的线性组合，

       它是行向量组成的列向量，每个行向量是B的行空间的线性组合。

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