1 定义

函数f和g的卷积(Convolution)的定义如下：

(f∗g)(t)=def ∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτ=∫−∞∞f(t−τ)g(τ)dτ.{\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(t)&\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )\,g(\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}

上式中的t可用x替代。

f*g表示函数g经过翻转和平移与函数f的重叠部分的积分。随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(x)＝(f*g)(x)。

2 物理含义

1. Express each function in terms of a dummy variable τ.{\displaystyle \tau .}
2. Reflect one of the functions: g(τ){\displaystyle g(\tau )}→g(−τ).{\displaystyle g(-\tau ).}
3. Add a time-offset, t, which allows g(t−τ){\displaystyle g(t-\tau )} to slide along the τ{\displaystyle \tau }-axis.
4. Start t at −∞ and slide it all the way to +∞. Wherever the two functions intersect, find the integral of their product. In other words, compute a sliding, weighted-sum of function f(τ){\displaystyle f(\tau )}, where the weighting function is g(−τ).{\displaystyle g(-\tau ).}

The resulting waveform (not shown here) is the convolution of functions f and g.

3 例子

两个向量卷积，说白了就是多项式乘法。下面用个矩阵例子说明其工作原理。

a =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

b =
     2     3     2
     1     6     1
     2     1     5

矩阵a和矩阵b的卷积就是，把矩阵b上下翻转得到矩阵b'，然后让b'从矩阵a的顶部开始逐步往下平移，求取它们交集部分的积分（多项式乘积），作为卷积结果矩阵中的一行。多项式求解步骤如下。

所得卷积矩阵为：

a*b =

    16    26    31    20    12
    14    68    55    68    20
    27    63   132    82    41
    10    46    94    53    37
     8    22    33    47    10

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