【学习笔记】系统的松弛线性性、时不变性、因果性
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2025-02-22 09:19:58
- 系统松弛
松弛系统指的是，系统初始状态能量为0,也即系统在 −∞ 到t=0这个时间段内系统的储能为0。之所以考虑这一特性，在于我们经典控制中传递函数是有微分方程求拉式变化得到，初始状态为0时，输入唯一的确定输出，这给我们研究带来方便。
注：复频域中的乘法对应时域的卷积运算。
- 线性性的判断
判断一个松弛系统的线性性，只需要判断其齐次性和可加性，也即我们常接触的叠加定理。
可加性：H(u1 + u2 ) = Hu1 +Hu2
齐次性：H(αu) = αHu
叠加定理：H(α1 u1 +α2 u2 ) = α1 Hu1 +α2Hu2
H为算子
【 举例】
y(t)=tx(t)
t[ax1(t)+bx2(t)]=atx1(t)+btx2(t)
- 时不变性判断
时不变性的定义，简单说就是，输入信号延迟时间a，输出信号也对应的延迟a。Qa表示延迟a时间。
Qa H u=H Qa u
另外
g(t, τ) = g(t − τ, 0) ∀观测时t, 输入时τ
也可作为时不变的判断
- 因果性判断
通俗的说，这一性质即，系统的未来输入（投入、原因），对现在和过去的输出（结果、收获）是没有影响的。就好比，我们曾经和此时取得的成绩，是和以后的付出无关的，只和更早以前的付出有关。
此处 引入一个算子，被称为截断算子，定义如下：
即H 表示的系统是具有因果性的，是指成立如下的关系：
图中也可以看出来，上式左端的输入比右边的多了t > T 的一段，而输出在t <T 是一样的，这说明t > T 的输入对 t <T 的输出无影响。
