矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。

矩阵

矩阵类型

向量的类型根据元素的实际意义不同可以分为，

1. 物理向量

   泛指既有幅值，又有方向的物理量，如速度、加速度、位移等。

2. 几何向量

   为了将物理向量可视化，常用带方向的线段表示。这种有向线段出称为几何向量。

3. 代数向量

   几何向量可以用代数形式表示。例如，若平面上的几何向量$v=\vec{ab}$v=ab中点a的坐标为$(a_1,a_2)$(a1​,a2​),点b的坐标为$(b_1,b_2)$(b1​,b2​)，则该几何向量可以表示为代数形式$\begin{bmatrix} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ \end{bmatrix} ​$[b1​−a1​b2​−a2​​]​

其中，根据元素的类型不同，代数向量又可以分为以下三种，

1. 常数向量

   向量中的元素为实数或复数

2. 函数向量

   向量中的元素包含函数值，如$\mathbf{x}=[1,x,x^2,...,x^n]^T$x=[1,x,x2,...,xn]T

3. 随机向量

   向量中的元素为随机变量或随机过程，如$\mathbf{x}=[x_1(n),x_2(n),...,x_m(n)]^T$x=[x1​(n),x2​(n),...,xm​(n)]T，其中$x_1(n),x_2(n),...,x_m(n)$x1​(n),x2​(n),...,xm​(n)是$m$m个随机过程或随机信号

矩阵运算

转置、共轭、共轭转置、加法、乘法和求逆

矩阵的基本运算包括矩阵的转置、共轭、共轭转置、加法、乘法和求逆
$A=\begin{bmatrix}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 m}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 m}} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{m 1}} & {a_{m 2}} & {\cdots} & {a_{m m}}\end{bmatrix}$A=⎣⎢⎢⎡​a11​a21​⋯am1​​a12​a22​⋯am2​​⋯⋯⋯⋯​a1m​a2m​⋯amm​​⎦⎥⎥⎤​

1. 矩阵$A$A的转置记为$A^T$AT，其元素定义为$[A^T]_{ij}=a_{ji}$[AT]ij​=aji​，

$A^T=\begin{bmatrix}{a_{11}} & {a_{21}} & {\cdots} & {a_{m1}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{m2}} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{1m}} & {a_{2m}} & {\cdots} & {a_{m m}}\end{bmatrix}$AT=⎣⎢⎢⎡​a11​a12​⋯a1m​​a21​a22​⋯a2m​​⋯⋯⋯⋯​am1​am2​⋯amm​​⎦⎥⎥⎤​

2. 矩阵$A$A的共轭记为$A^*$A∗，其元素定义为$[A^*]_{ij}=a_{ij}^*$[A∗]ij​=aij∗​，

$A^*=\begin{bmatrix}{a_{11}^*} & {a_{12}^*} & {\cdots} & {a_{1 m}^*} \\ {a_{21}^*} & {a_{22}^*} & {\cdots} & {a_{2 m}^*} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{m 1}^*} & {a_{m 2}^*} & {\cdots} & {a_{m m}^*}\end{bmatrix}$A∗=⎣⎢⎢⎡​a11∗​a21∗​⋯am1∗​​a12∗​a22∗​⋯am2∗​​⋯⋯⋯⋯​a1m∗​a2m∗​⋯amm∗​​⎦⎥⎥⎤​

3. 矩阵$A$A的共轭转置记为$A^H$AH，其元素定义为$[A^H]_{ij}=a_{ji}^*$[AH]ij​=aji∗​，

$A^T=\begin{bmatrix}{a_{11}^*} & {a_{21}^*} & {\cdots} & {a_{m1}^*} \\ {a_{12}^*} & {a_{22}^*} & {\cdots} & {a_{m2}^*} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{1m}^*} & {a_{2m}^*} & {\cdots} & {a_{m m}^*}\end{bmatrix}$AT=⎣⎢⎢⎡​a11∗​a12∗​⋯a1m∗​​a21∗​a22∗​⋯a2m∗​​⋯⋯⋯⋯​am1∗​am2∗​⋯amm∗​​⎦⎥⎥⎤​
共轭转置又被称为Hermitian伴随、Hermitian转置或Hermitian共轭，$A=A^T$A=AT的实方阵称为对称矩阵，$A=A^H$A=AH的复方阵称为Hermitian矩阵

4. 方阵$A$A的逆矩阵记为$A^{-1}$A−1，$A^{-1}$A−1被定义为满足以下关系$AA^{-1}=AA^{-1}=\mathbf{I}$AA−1=AA−1=I

5. 加法与乘法

   • 两个$m\times n$m×n矩阵$A、B$A、B的加法，$[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$[A+B]ij​=aij​+bij​

   • $m\times n$m×n大小的矩阵$A$A与$1\times n$1×n大小的向量$x=[x_1,...,x_n]$x=[x1​,...,xn​]相乘，$[Ax]_i=\sum_{j=1}^na_{ij}x_j,\quad i=1,...,m$[Ax]i​=∑j=1n​aij​xj​,i=1,...,m

   • $m\times n​$m×n​大小的矩阵$A​$A​与$n\times r​$n×r​大小的矩阵$B​$B​相乘，$[AB]_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj},\quad i=1,...,m;j=1,...,r​$[AB]ij​=∑k=1n​aik​bkj​,i=1,...,m;j=1,...,r​

   需要注意的是，一般来说，矩阵乘积是不满足交换律的

性质

关于矩阵中转置、共轭、共轭转置、求逆的性质

1. 分配律

   $(A+B)^*=A^*+B^*,\quad (A+B)^T=A^T+B^T,\quad (A+B)^H=A^H+B^H​$(A+B)∗=A∗+B∗,(A+B)T=AT+BT,(A+B)H=AH+BH​

2. 矩阵乘积中转置、共轭转置、求逆的性质

   $(AB)^T=B^TA^T,\quad (AB)^H=B^HA^H,\quad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}​$(AB)T=BTAT,(AB)H=BHAH,(AB)−1=B−1A−1​

3. 转置、共轭、共轭转置与求逆交换

   $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*,\quad (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T,\quad (A^H)^{-1}=(A^{-1})^H$(A∗)−1=(A−1)∗,(AT)−1=(A−1)T,(AH)−1=(A−1)H

矩阵函数

除了上述矩阵的基本运算之外，还有矩阵函数

1. 三角函数
   $\begin{aligned} \sin (\boldsymbol{A}) &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \boldsymbol{A}^{2 n+1}}{(2 n+1) !}=\boldsymbol{A}-\frac{1}{3 !} \boldsymbol{A}^{3}+\frac{1}{5 !} \boldsymbol{A}^{5}-\cdots \\ \cos (\boldsymbol{A}) &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \boldsymbol{A}^{2 n}}{(2 n) !}=\boldsymbol{I}-\frac{1}{2 !} \boldsymbol{A}^{2}+\frac{1}{4 !} \boldsymbol{A}^{4}-\cdots \end{aligned}$sin(A)cos(A)​=n=0∑∞​(2n+1)!(−1)nA2n+1​=A−3!1​A3+5!1​A5−⋯=n=0∑∞​(2n)!(−1)nA2n​=I−2!1​A2+4!1​A4−⋯​

2. 指数函数
   $\begin{aligned} \mathrm{e}^{A} &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \boldsymbol{A}^{n}=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}+\frac{1}{2} \boldsymbol{A}^{2}+\frac{1}{3 !} \boldsymbol{A}^{3}+\cdots \\ \mathrm{e}^{-\boldsymbol{A}} &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}(-1)^{n} \boldsymbol{A}^{n}=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}+\frac{1}{2} \boldsymbol{A}^{2}-\frac{1}{3 !} \boldsymbol{A}^{3}+\cdots \\ \mathrm{e}^{\boldsymbol{A} t} &=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A} t+\frac{1}{2} \boldsymbol{A}^{2} t^{2}+\frac{1}{3 !} \boldsymbol{A}^{3} t^{3}+\cdots \end{aligned}$eAe−AeAt​=n=0∑∞​n!1​An=I+A+21​A2+3!1​A3+⋯=n=0∑∞​n!1​(−1)nAn=I−A+21​A2−3!1​A3+⋯=I+At+21​A2t2+3!1​A3t3+⋯​

3. 对数函数
   $\ln (I+A)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} A^{n}=A-\frac{1}{2} A^{2}+\frac{1}{3} A^{3}-\cdots$ln(I+A)=n=1∑∞​n(−1)n−1​An=A−21​A2+31​A3−⋯

4. 矩阵导数
   $\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}}{\mathrm{d} t}=\dot{\boldsymbol{A}}=\left[ \begin{array}{cccc}{\frac{\mathrm{d} a_{11}}{\mathrm{d} t}} & {\frac{\mathrm{d} a_{12}}{\mathrm{d} t}} & {\cdots} & {\frac{\mathrm{d} a_{1 n}}{\mathrm{d} t}} \\ {\frac{\mathrm{d} a_{21}}{\mathrm{d} t}} & {\frac{\mathrm{d} a_{22}}{\mathrm{d} t}} & {\cdots} & {\frac{\mathrm{d} a_{2 n}}{\mathrm{d} t}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\frac{\mathrm{d} a_{m 1}}{\mathrm{d} t}} & {\frac{\mathrm{d} a_{m 2}}{\mathrm{d} t}} & {\cdots} & {\frac{\mathrm{d} a_{m n}}{\mathrm{d} t}}\end{array}\right]$dtdA​=A˙=⎣⎢⎢⎢⎡​dtda11​​dtda21​​⋮dtdam1​​​dtda12​​dtda22​​⋮dtdam2​​​⋯⋯⋱⋯​dtda1n​​dtda2n​​⋮dtdamn​​​⎦⎥⎥⎥⎤​

5. 矩阵积分
   $\int \boldsymbol{A} \mathrm{d} t=\left[ \begin{array}{cccc}{\int a_{11} \mathrm{d} t} & {\int a_{12} \mathrm{d} t} & {\cdots} & {\int a_{1 n} \mathrm{d} t} \\ {a_{21} \mathrm{d} t} & {\int a_{22} \mathrm{d} t} & {\cdots} & {\int a_{2 n} \mathrm{d} t} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\int a_{m 1} \mathrm{d} t} & {\int a_{m 2} \mathrm{d} t} & {\cdots} & {\int a_{m n} \mathrm{d} t}\end{array}\right]$∫Adt=⎣⎢⎢⎢⎡​∫a11​dta21​dt⋮∫am1​dt​∫a12​dt∫a22​dt⋮∫am2​dt​⋯⋯⋱⋯​∫a1n​dt∫a2n​dt⋮∫amn​dt​⎦⎥⎥⎥⎤​

特殊矩阵

对角矩阵、零矩阵、单位矩阵

幂等矩阵

幂等矩阵$A$A具有以下性质：

幂单矩阵

又被称为对合矩阵，若$A^2=AA=\mathbf{I}​$A2=AA=I​，若$A​$A​为幂单矩阵，则函数$f(\cdot)​$f(⋅)​具有以下性质：
$f(s \boldsymbol{I}+t \boldsymbol{A})=\frac{1}{2}[(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}) f(s+t)+(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}) f(s-t)]$f(sI+tA)=21​[(I+A)f(s+t)+(I−A)f(s−t)]
其中，幂等矩阵和幂单矩阵也有关系，矩阵$A$A是幂单矩阵，当且仅当$\frac{1}{2}\boldsymbol({A}+\boldsymbol{I})$21​(A+I)

幂零矩阵

方阵$A$A被称为幂零矩阵，若$A^2=AA=\boldsymbol{O}$A2=AA=O，若$A$A为幂单矩阵，则函数$f(\cdot)$f(⋅)具有以下性质：
$f(s \boldsymbol{I}+t \boldsymbol{A})=\boldsymbol{I}f(s)+t\boldsymbol{A}f^{\prime}(s)$f(sI+tA)=If(s)+tAf′(s)

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Source from: 《矩阵分析与应用》，张贤达