贪心算法--数据结构与算法之美--CH37
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1. 引言
数据结构与算法之美的前述总结，已经基本将所有常用的数据结构和算法学习完了。
本节以及后边几个总结，将就4个算法思想进行学习：贪心算法，分治算法，回溯算法，动态规划。这几种算法并不是具体的算法，而是解决问题的一种思想，思想这个东西不是记忆就能够掌握的，需要不断实战和总结，共勉。
2. 什么贪心算法
定义贪心算法之前，先看一个案例：假设有一个可容纳 100kg的背包，现有 5 种豆子，每种的总量和总价值各不相同。为了让背包所装豆子的总价值最大，应该如何选择装哪些豆子？每种豆子又该装多少呢？
显然，同等空间，单价越高价值越大。因此肯定是按照单价从高到低一次装入：20kg 黑豆、30kg 绿豆、50kg 红豆。
以上思路本质上就是贪心算法的思想：在空间大小固定(限制值)的情况下，需要所装豆子价值(期望值)最大，则每一步选择同等限制值贡献下，期望值贡献高的那个。
3. 什么情况下可以用贪心算法
3.1 贪心算法有效
如上分析，对贪心算法进行一个总结，什么情况下适合用贪心算法。
- 题目中定义了限制值和期望值。
- 每次选择同等限制值贡献情况下，期望贡献最大的数据。（或者同等期望值贡献下，限制值贡献较小的。）
- 举例验证，一般情况下贪心算法正确性显而易见。
3.2 贪心算法失效
有些情况下，贪心算法就不work了，如图寻找s到t的最短路径。
贪心算法选择了S-A-E-T，实际最短路径S-B-D-T，本质上由于“前面的选择，影响了后面的选择”，因此贪心算法不work了。
这个问题用动态规划，能够得到正确结果，这也是动态规划和贪心算法的区别所在，动态规划就是解决这种前置操作影响后置操作的问题。
4. 贪心算法实战分析
4.1 分糖果
有 m 个糖果和 n 个孩子，要把糖果分给孩子，但是糖果少孩子多（m<n），所以糖果只能满足部分孩子。每个糖果的大小分别是 s1，s2，s3，……，sm，同时 n 个孩子对糖果的需求分别是 g1，g2，g3，……，gn。
只有糖果的大小大于等于需求的时候，孩子才得到满足，问题是，如何分配糖果，能尽可能满足最多数量的孩子？
解答：
- 限制条件是糖果数量m，期望是得到满足的孩子。
- 将孩子按需求从小到大排序，同等期望贡献下，限制值损失最小。则考虑用按需求从小到大分配，分配给能满足其需求的最小的糖果。
- 依次类推，直到糖果分完或无法再分。
4.2 钱币找零
有 1 元、2 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元面额的纸币，张数分别是 c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。现在要用这些钱来支付 K 元，最少要用多少张纸币呢？
解答：
- 期望值是K元，限制值是纸币数量。
- 同等期望希望限制值最小，则先用大面值的，然后用小面值，最后1元补齐。
- 这是直觉下的最优解，大部分情况下也是最优的，但是不排除特殊情况。
4.3 区间覆盖
如下图，假设有 n 个区间，起始端点和结束端点分别是 [l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。从 n 个区间中部分区间，满足两两不相交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？
解答：
- 期望值区间数量最多，限制值区间宽度。
- 这里区间宽度取n个区间中最左端点lmin，最右端点rmax，因此区间宽度为[lmin,rmax]。
- 每次选择左端点与前面不覆盖，右端点尽量小的区间，如下图。
4.4 霍夫曼编码
霍夫曼编码基本思想：按照字符频率，字符频率越高，编码越短。
如图，假设一段文本共6个字符，出现频率：
编码技巧如下：
- 把每个字符看作一个节点，并辅带频率放到优先级队列中。
- 从队列中取出频率最小的两个节点 A、B，然后新建一个节点 C，频率设置为两个节点频率之和，作为节点 A、B 的父节点。
- 再把 C 节点放入到优先级队列中。
- 重复1，2，3，直到队列中没有数据。
如下图： - 给每一条边加上一个权值，指向左子节点的边统统标记为 0，指向右子节点的边，统统标记为 1，从根节点到叶节点的路径就是叶节点对应字符的霍夫曼编码。
最终编码如下图所示：
5. 贪心算法的思考
我理解贪心算法的本质就是"在满足限制条件下，只考虑当前最优的步骤，而不顾全大局"，这也是其可能出现局部最优解的根因。
以思考题为例：在一个非负整数 a 中，我们希望从中移除 k 个数字，让剩下的数字值最小，如何选择移除哪 k 个数字呢？
解答：
- 移除k个数字，则需要k个步骤，只考虑每步最优。
- 第一步：一定是移除1个数字使得当前剩余数字最小，因此要从高位到低位，选择相邻两个高位大于低位的移除。比如123654，选到6移除得12354。
- 第二步：在得到的12354，递归使用第一步思路。选到5，得1234。依次类推，直到k步。