1.基本的接收模型

$y_n=\sum_{t=0}^{N-1}h_n(t)\cdot x_{n-t}+n_n$yn​=t=0∑N−1​hn​(t)⋅xn−t​+nn​又我们有
$x_n=\frac{1}{\sqrt N}\sum_{k=1}^{K}X_ke^{\frac{j2\pi nk}{N}},x_{n-t}=\frac{1}{\sqrt N}\sum_{k=1}^{K}X_ke^{\frac{j2\pi nk}{N}}e^{-\frac{j2\pi tk}{N}}$xn​=N​1​k=1∑K​Xk​eNj2πnk​,xn−t​=N​1​k=1∑K​Xk​eNj2πnk​e−Nj2πtk​将$x_{n-t}$xn−t​代入，可得
$y_n=\frac{1}{\sqrt N}\sum_{t=0}^{N-1}h_n(t)\cdot \sum_{k=1}^{K}X_ke^{\frac{j2\pi nk}{N}}e^{-\frac{j2\pi tk}{N}}+n_n$yn​=N​1​t=0∑N−1​hn​(t)⋅k=1∑K​Xk​eNj2πnk​e−Nj2πtk​+nn​对上式进行重写,即对$h(n)$h(n)进行傅里叶变换
$y_n=\frac{1}{\sqrt N}\cdot \sum_{k=1}^{N}X_kH_n(k)e^{\frac{j2\pi nk}{N}}+n_n$yn​=N​1​⋅k=1∑N​Xk​Hn​(k)eNj2πnk​+nn​再对$y_n$yn​进行傅里叶变换可以得到
$Y_k=\frac{1}{\sqrt N}\sum_{k=1}^{K}y_ne^{-\frac{j2\pi nk}{N}}$Yk​=N​1​k=1∑K​yn​e−Nj2πnk​再将$y_n$yn​代入可得
$Y=H\cdot X+n$Y=H⋅X+n其中，列向量定义如下：
$Y=\left[ \begin{matrix} Y_0\\ \vdots \\ Y_{N-1} \end{matrix} \right] ,X=\left[ \begin{matrix} X_0\\ \vdots \\ Y_{N-1} \end{matrix} \right] ,h=\left[ \begin{matrix} H_0\\ \vdots \\ H_{N-1} \end{matrix} \right]$Y=⎣⎢⎡​Y0​⋮YN−1​​⎦⎥⎤​,X=⎣⎢⎡​X0​⋮YN−1​​⎦⎥⎤​,h=⎣⎢⎡​H0​⋮HN−1​​⎦⎥⎤​
如果信道是时不变的，那么给定的信道矩阵为对角阵。
并行信道表示如下图所示：

就像平常的信道一样。

2.循环卷积

我们假设有两个信道$h1,h2$h1,h2，OFDM的图如下图所示：

信息的传输如下图所示：

这是有循环前缀的情况，若是去掉循环前缀，那么我们可以得到矩阵：$Y=\overline{H}X$Y=HX

为什么H矩阵的第一项会是如上图所示的那样呢？
因为从未去掉循环前缀的矩阵中我们可以得到第三项，也就是去除循环前缀的第一项，是$y_2=h_2x_6+h_1x_1$y2​=h2​x6​+h1​x1​去掉后，我们的信道矩阵第一项就得在最后加上$h_2$h2​这一条了。

• 加入CP和去除cp，将线性卷积变为循环卷积
• 这将为我们处理信道矩阵带来巨大的便捷

3.信道的特征向量

• 一个循环矩阵可以通过DFT实现对角化，也就是说，循环矩阵的特征值和DFT相同，而循环矩阵的特征向量都是线性独立的。
• 令G代表一个$NXN$NXN的循环矩阵

循环矩阵的特征值如下：$\lambda=\sum_{p=0}^{N-1}g(p)\cdot e^{j\frac{2\pi}{N}kp}$λ=p=0∑N−1​g(p)⋅ejN2π​kp
特征值对应的向量为：

再用SVD的方法来对角化信道，得到比较好的信道性能。有$y=\overline{H}x$y=Hx
将其对角化，得到$y=W\cdot D\cdot W^*\cdot x$y=W⋅D⋅W∗⋅x
两边同乘$w^{-1}$w−1,得到$W^{-1}y=D\cdot W^*\cdot x$W−1y=D⋅W∗⋅x
等式左边代表接收信号的傅里叶变换，右边代表经过对角阵特征值加权后的数据符号的傅里叶反变换。

4.OFDM的优缺点

4.1优点

• 抗多径衰落能力强。
• 对于频率选择性衰落信道，OFDM可以通过子载波的动态比特分配，自适应功率分配和调制方式的改变，达到最大的信道容量
• 易于实现

4.2缺点

• 由于频谱相互重叠，所以OFDM对于频率的正交性要求很严格，因此对于传输过程中的频偏要求十分敏感，大约1/100的频偏才是可以被接受的。
• 峰值功率与平均功率之比（PAPR）很大，原理上，这将增加成本。
• 容易发生多载波互调失真，因此要求整个信号发送过程中线性很好。