对洛必达法则的理解

洛必达法则：当 ${x\rightarrow x0}$ 时，如果f(x)=0,g(x)=0，那么

$\lim_{x\rightarrow x0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

假设有任意两个函数，如图：
对洛必达法则的理解
任取两点(a,b),对应图中的(4,6),与g(x),f(x)分别相交于4个点。记f(x)截线的斜率为k1，g(x)截线的斜率为k2，则有：
$k1=\frac{f(6)-f(4)}{6-4} ，k2=\frac{g(6)-g(4)}{6-4}$
两式相除得：
$\frac{k1}{k2}=\frac{f(6)-f(4)}{g(6)-g(4)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

对f(x)来说，在(a,b)区间中至少能找到一点ε1使 $f'(\varepsilon 1 )=k1$
对g(x)来说，在(a,b)区间中至少能找到一点ε2使 $g'(\varepsilon 2 )=k2$
这就是所谓的拉格朗日中值定理，从图像观察就能很自然的得到这个结果。
结合上述定理，在(a,b)中总能找到ε1，ε2使下列等式成立：
$\frac{f'(\varepsilon 1 )}{g'(\varepsilon 2)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
上述表达式就是所谓的柯西中值定理。
再进一步，如果 $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0,\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$ ,那么上式可转化为：
$\frac{f'(\varepsilon 1 )}{g'(\varepsilon 2)}=\frac{f(b)-0}{g(b)-0}=\frac{f(b)}{g(b)}$
因为a，b是任取的，所以在取得足够小的情况下，有：
$\lim_{x\rightarrow b}f(x)=0,\lim_{x\rightarrow b}g(x)=0$
ε1，ε2在（a,b）中，a,b又是足够小的，所以可以近似认为ε1=ε2=a=b.
因此,当 $\lim_{x\rightarrow b}f(x)=0,\lim_{x\rightarrow b}g(x)=0$ 时，有：
$\lim_{x\rightarrow b}\frac{f(b)}{g(b)} =\frac{f'(b)}{g'(b)}$
这就是所谓的洛必达法则,在0/0 ∞/∞类型的求导中可以很方便的计算出结果

对洛必达法则的理解

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