代数系统

基本概念

设X和Y是两个任意集合，而f是X到Y的一个二元关系，如果对于每一个x$\in$∈X,有唯一的y$\in$∈Y，使得<x,y>$\in$∈f，则称f是从X到Y的一个映射（函数），记作f:X$\rightarrow$→Y,若<x,y>$\in$∈f，通常记y为f(x)，称x是自由变元，称y为x在映射下的象。

运算：

对于集合A，一个从A$^{n}\rightarrow$n→B的映射，称集合A上的一个n元运算。

一个非空集合A连同若干个定义在该集合的运算f1,f2,…,fi所组成的系统，称为一个代数系统，记作<A,f1,f2,…,fk>

设A是一个非空集合，$A^{n}$An到B的一个映射f:A$^{n}\rightarrow$n→B,若B$\sub$⊂A,则称映射f关于集合A是封闭的（或称A对f是封闭的）。

几个代数系统：

运算及其性质

定义：设“”是定义在集合A上的二元运算，<A,>是一个代数系统，对$\forall a,b,c\in A$∀a,b,c∈A若满足：

1. a*b$\in$∈A,则称运算“*”在集合上是封闭的。
2. a*b=ba则称运算“*”在集合A上是可交换的或称运算“”在A上满足交换律
3. (a*b)*c=a*(b*c),则称运算在集合A上是可结合的，或称运算在A上满足结合律

设“*”、“$\circ$∘”是集合A上的两个二元运算，对$\forall a,b,c\in A$∀a,b,c∈A，若满足：

1. $a\circ (a*b)=a或a*(a\circ b)=a$a∘(a∗b)=a或a∗(a∘b)=a，则称两运算在A上满足吸收律
2. $a\circ(b*c)=(a\circ b)*(a\circ c)$a∘(b∗c)=(a∘b)∗(a∘c),则称运算“$\circ$∘”对“*”在A上满足左分配律
3. $(b*c)\circ a=(b\circ a)*(c\circ a)$(b∗c)∘a=(b∘a)∗(c∘a)，则称运算“$\circ$∘”对“*”在A上满足右分配律。如果既是左分配的又是右分配的，则称运算“0”对“*”是可分配的。

设“*”是集合A上的二元运算，若$\exist a\in A$∃a∈A，有：a*a=a，则称a为A上的等幂元，若A中的一切元素都是等幂元，则称运算”*“在A上满足等幂律。

设“*”是集合A上的二元运算，若$\exist e\in A$∃e∈A，使得对$\forall a\in A$∀a∈A，都有：

1. a*e=a,则称e为运算“*”关于A的右单位元素或右幺元，记为$e_{r}$er​
2. e*a=a，则称e为运算“*”关于A的左单位元素或左幺元又记为e1.
3. a*e=e*a=a,则称e为运算“*”关于A的单位元素或幺元

设<S,*>是一个代数系统，若<S,*>存在左右幺元，则它们一定相等，且是幺元；若存在幺元，则幺元唯一。

设“*”是集合A上的二元运算，如$\exist \theta\in A$∃θ∈A，使得对$\forall a\in A$∀a∈A,都有:

1. $a*\theta=\theta$a∗θ=θ，则称$\theta$θ为运算“*”关于A的右零元
2. $\theta*a=\theta$θ∗a=θ,则称“$\theta$θ”为运算“*”关于A的左零元
3. $a*\theta=\theta*a=\theta$a∗θ=θ∗a=θ,则称$\theta$θ为运算“*”关于A的零元

设<S,*>是一个代数系统，若<S,*>存在左右零元，则他们一定相等且是零元。零元唯一

设“*”是集合A上的二元运算，e是<A,*>的幺元，对$a\in A$a∈A,若$\exist b\in A$∃b∈A,使得：

1. a*b=e，则称b为a关于运算“*”右逆元，a也称为右可逆的，记为$a^{-1}_{r}=e$ar−1​=e
2. b*a=e,则称b为a关于运算“*”左逆元，a也称为左可逆的
3. ab=ba=e,称b为a关于运算“*”的逆元，a也称为可逆的

设<S,*>是一个代数系统，若“*”满足结合律且e是<S,*>的幺元，则对$\forall a\in S$∀a∈S，若存在左右逆元，则该左右逆元一定相等，且是该元的逆元。逆元若存在，则唯一

设<S,*>是一个代数系统，且集合S中的元素个数大于1.如果该代数系统中存在幺元和零元，则幺元不等于零元

设<A,*>是一个代数系统，则：

半群：设<S,*>是一个代数系统，S为非空集合。若运算“*”是封闭的，则称此代数系统是一个广群

设<S,*>是一个代数系统，如运算“*”封闭的，可结合的，则此二元代数系统是一个半群，若运算”*“又是可交换的，则称此代数系统可交换半群

设<S,*>是一个半群，$B\subseteq$B⊆S且*在B上封闭，那么<B,*>也是一个半群称为<S,*>的子半群

设<H,*>是一个半群，如果H是一个有限集，则必有$a\in H$a∈H使得a*a=a

设<S,*>是一个半群，若该半群存在幺元e，则称此半群<S,*>是一个独异点（或含幺半群），进一步，若运算*又是可交换运算，则称此独异点为可交换的独异点（可交换的含幺半群）

一个独异点<S,*>的运算表中的任何两行（列）都是不同的

设<S,*>是一个独异点，对任意$a,b\in S$a,b∈S，且a，b均有逆元

群：

给定一个代数系统<G,*>，若运算*满足：

封闭，结合，存在幺元，对于任意一个集合中的元素都有逆元，则称<G,*>是一个群，简称G是一个群，称|G|为群G的阶

进一步满足：

运算*满足交换律，则称为交换群或阿贝尔群

|G|有限，有限群

|G|无限，无限群

阶数大于1的群无零元

设<G,*>是一个群，对于a,b,c$\in$∈G,如果ab=ac或者b*a=c*a，则必有b=c（消去律）

群中除幺元外无其他幂等元

子群：

设<G,*>是一个群，H是G的一个非空子集，若H关于G的运算*构成群，则称<H,*>是<G,*>的一个子群

一般来说，对任意的群都有两个<{e},*>,<G,*>我们称这两个子群为该群的平凡子群，而若有子群<H,*>，且H$\neq$​={e}和H$\sub$⊂G,则称<H,*>为<G,*>的真子群

设<G,*>是一个群，<H,*>是<G,*>的子群，则群<G,*>的幺元必定也是子群的幺元

设<G,*>是一个子群，H是G的一个有限非空子集，那么只要运算在H上封闭，<H,*>必定是<G,*>的子群

设<G,*>是一个群，H是G的一个非空子集，如果对于H中的任何元素a和b有$a* b^{-1}\in H$a∗b−1∈H,则<H,*>是<G,*>的子群

设<G,*>是一个群，H1，H2，。。。Hn是G的n和子群，则有H=H1$\cap$∩H2$\cap\cdots\cap H_{n}$∩⋯∩Hn​是G的子群

设<G,*>是一个群，则<G,*>作成交换群的充分必要条件是：对$\forall a,b\in G$∀a,b∈G有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)

设<G,*>是一个群，若G中存在元素a，使得对$\forall x\in G$∀x∈G都有x=$a^{n}(n\in I)$an(n∈I)，则称<G,*>是由a所生成的循环群，常记群G=(a)，而a成为该循环群的生成元，群G中的一切生成元构成的集合叫做该群G的生成集

循环群一定是阿贝尔群

设<G,*>=(a)是一个有限循环群，如果群G的阶为n，则a的周期/阶为n