时间复杂度与大O表示法

相同的代码对于每台机器执行的总时间不同，但是执行的基本运算数量大体相同
我们假定计算机执行算法每一个操作的时间都是固定的一个时间单位，那么有多少个基本操作就会花费多少个时间单位。算法对于不同的机器环境而言，确切的说单位时间是不同的，但是对于算法进行多少个基本操作(就是花费多少时间单位)在规模数量级上却是相同的，由此可以忽略机器环境的影响而客观的反应算法的时间效率。

算法的时间复杂度

*用来度量算法的运行时间，记作: T(n) = O(f(n))。它表示随着输入大小n 的增大，算法执行需要的时间的增长速度可以用 f(n) 来描述。

a+b+c=1000; a^2 + b^2 = c^2 求出a,b,c abc是自然数

//第一种计算的步骤多
public static void demo(){
for(int a = 0 ; a < 1000; a++){//执行1000次
for(int b = 0 ; b < 1000; b++){//执行1000次
for(int c = 0; c < 1000; c++){//执行1000次
if((a + b + c == 1000) && ((aa)+(bb) == c*c)){//执行2或10次不需要特别关心
System.out.println(a + “—” + b + “—” + c);
}
}
}
}
}

基本步骤的数量： T = 1000 * 1000 * 1000 * 2
如果将1000改为2000 那么 T = 2000 * 2000 * 2000 * 2
1000和2000都代表规模的大小， T = N * N * N * 2
最终的时间复杂度是跟规模有关系 T(n) = n^3 * 2 or T(n) = n^3 * 10
我们可以这样认为 T(n) = n^3 跟以上是同等数量级上，并且它的走势是一样的，也就是将常数项省略，因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的
时间复杂度与大O表示法
综合起来：如果一个算法的执行次数是 T(n)，那么只保留最高次项，同时忽略最高项的系数后得到函数 f(n)，此时算法的时间复杂度就是T(n)。

如何理解"大O记法"
对于单调的整数函数f, 如果存在一个整数函数g和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n) <= c*g(n),就是说函数g是f的一个渐近函数(忽略常数)，记作f(n) = O(g(n))。
而时间复杂度：假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题示例所用时间为T(n) = O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为T(n).

对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

 void aFunc(int n) {
 // 第一部分时间复杂度为 O(n^2)
 for(int i = 0; i < n; i++) {
     for(int j = 0; j < n; j++) {
          printf("Hello, World!");
     }
 }
 // 第二部分时间复杂度为 O(n)
 for(int j = 0; j < n; j++) {
      printf("Hello, World!");
 }
 此时的时间复杂度是max(O(n^2),O(n))  即O(n^2)

时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。

练习题: 求该方法的时间复杂度

void aFunc(int n) {
     for (int i = 2; i < n; i++) {
         i *= 2;
          printf("%i\n", i);
     }
 }

参考答案：
假设循环次数为 t，则循环条件满足 2^t < n。
可以得出，执行次数t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可见时间复杂度为 O(log(2)(n))，即 O(log n)。

long aFunc(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 1;
    } else {
        return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
    }
}

参考答案：
显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。
显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。
所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。
可见这个方法所需的运行时间是以指数的速度增长的。如果大家感兴趣，可以试下分别用 1，10，100 的输入大小来测试下算法的运行时间，相信大家会感受到时间复杂度的无穷魅力

时间复杂度与大O表示法

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