相机溯源之传统方法（PRNU提取）

照相模型

噪声可以分为固定的噪声（Fixed Pattern Noise, FPN）和图像非均匀响应噪声（Photo-Response Nonuniformity Noise, PRNU）。我们提取PRNU，并取其高频部分。
相机溯源之传统方法（PRNU提取）
对于传感器处理过程，建立模型如下：
$y_{ij}=f_{ij}(x_{ij}+η_{ij})+c_{ij}+\epsilon_{ij}$ 其中， $x_{ij}$ 为原始光照图像， $η_{ij}$ 为散粒噪声， $c_{ij}$ 为暗电流， $\epsilon_{ij}$ 为随机噪声， $y_{ij}$ 为传感器输出。

由于在传感器之后还存在许多线性和非线性的图像处理过程，因此最终得到的图像模型为：
$p_{ij} =P(y_{ij}, N(y_{ij}),i,j)$ 其中， $N(y_{ij})$ 表示非线性处理过程。

PNU提取算法

由于无法获得直接传感器处理后的原始数据，因此提取的噪声模板为近似的PNU。提取近似PUN采用将获得的图片减去滤波后的图片。即：
$\bm{n}^{(k)}=\bm{p}^{(k)}-F(\bm{p}^{(k)})$ 在进行图像残差与噪声模板配对时，计算两者的相关系数，若相关系数大于阈值 $t$ ，则认为两者是出自同一相机，否则认为不是。相关系数计算公式为：
$\rho_c(p)=corr(\bm n, \bm{P}_c)=\frac{(\bm n-\bm{\overline{n}})\cdot(\bm{P}_c-\bm{\overline P}_c)}{||\bm n-\bm{\overline{n}}||\ ||\bm{P}_c-\bm{\overline P}_c||}$ 其中， $\bm n$ 为单幅测试图像的残差， $\bm P_c$ 为多幅图像综合获得的噪声模板。

算法采用的滤波方法为：
（1）进行四级小波变换
采用的小波为the 8-tap Daubechies QMF。获得的结果以 $h(i,j)$ 代表水平分量， $v(i,j)$ 代表垂直分量， $d(i,j)$ 代表对角线分量。

（2）估计局部方差
取大小为 $W\times W$ 的方块，记为 $N$ 。共进行四次操作，且 $W\in \{3,5,7,9\}$ 。每一次，对不同的 $W$ 计算获得的局部方差为：
$\hat{\sigma}_W^2(i,j)=max(0, \frac{1}{W^2}\sum_{(i,j)\in N}h^2(i,j)-\sigma_0^2), \ (i,j)\in J$ 最后获得的方差为：
$\hat{\sigma}^2(i,j)= min( \hat{\sigma}_3^2(i,j),\hat{\sigma}_5^2(i,j),\hat{\sigma}_7^2(i,j),\hat{\sigma}_9^2(i,j),), \ (i,j)\in J$
（3）进行维纳滤波
维纳滤波公式为：
$h_{den}(i,j)=h(i,j)\frac{ \hat{\sigma}^2(i,j)}{ \hat{\sigma}^2(i,j)+\sigma_0^2}$
（4）对每一维度的小波系数和每个颜色通道重复过程(1)-(3)。

取 $\sigma_0$ 为5。

阈值评估方法

令 $\rho_c^{c'}(i),i=1,...,N$ 为 $N$ =300组图片的相关系数序列。其中，测试图像来自相机 $c$ ，噪声模板图像来自相机 $c'$ 。使用广义高斯模型来对其分布进行估计。模型公式为：
$f(x;\alpha ,\beta,\mu)=\frac{1}{2\alpha \Gamma (1/\beta)}e^{-(\frac{|x-\mu|}{\alpha})^\beta}$ 其中：
$\hat{\mu}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\rho(i)$ $\hat{\beta}=G^{-1}(\hat m_1^2/\hat m_2^2)$ $\hat \alpha=\hat m_1 \frac{\Gamma(1/\hat{\beta})}{\Gamma(2/\hat{\beta})}$ 且：
$\hat m_1=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N|\rho(i)-\hat{\mu}|$ $\hat m_2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N|\rho(i)-\hat{\mu}|^2$ $G(x)=\frac{[\Gamma(2/x)]^2}{\Gamma(1/x)\Gamma(3/x)}$ 其中， $\Gamma(x)$ 表示Gamma方程。
评判算法时有两个错误率：
· FRR False Rejection Rate
代表错误拒绝概率，即照片由该相机拍摄，但认定为非该相机拍摄。
· FAR False Acception Rate
代表错误接受概率，即照片不由该相机拍摄，但认定为该相机拍摄。

FRR的值为由 $c_0$ 相机拍摄测试图像和 $c_0$ 噪声模板的估计概率的累积密度函数。即：
$FRR=F_{c_0}^{c_0}(t)$ FAR的计算公式为：
$FAR=1-\prod_{c=1, c\neq c_0}^9 F_{c_0}^{c}(t)$ 由于认为FAR为更加重要的值，对FAR设置阈值，并通过该阈值反推获得阈值 $t$ 。即有：
$1-\prod_{c=1, c\neq c_0}^9 F_{c_0}^{c}(t) \leq \alpha _{FAR}$

其它知识点

平场矫正（Flat Fielding）
矫正由噪声引起的图像不均匀性。矫正方法为先获得一系列噪声图像，再进行平均。对拍摄后图像减去这个平均噪声。公式为：
$\hat{x}_{ij}=(y_{ij}-c_{ij})/\hat{f}_{ij}$ 其中：
$\hat{f}_{ij}=\frac{\sum_kf_{ij}^{(k)}}{\frac{1}{m\times n}\sum_{i,j,k}f_{ij}^{(k)}}$

参考文献

[1] J.Lukáˇs,J.Fridrich,andM.Goljan,“Digitalcameraidentiﬁcationfrom sensor pattern noise,” IEEE Trans. Inf. Forensics Security, vol. 1, no. 2, pp. 205–214, Jun. 2006.