图像DFT和DCT的频域真实频率

图像的频率与波长

我们知道图像的空间域和频率域都是离散的。如果用二维DFT进行变换，(x,y)表示空间域坐标，(u,v)表示频率域坐标。以一行为例，那么x,u=0,1,…N-1。
这个N就是图像一行的像素点数。在上一篇博客中介绍了图像空间频率（波数）的概念，也就是单位长度（mm）内图像变化的次数。那么这个u肯定就不是这个概念啦。

图像DFT和DCT的频域真实频率
我们在数字信号处理里的频率是单位时间转过的周期个数，角频率是单位时间转过的弧度，数字角频率是每隔时间间隔 $T_s$ 转过的弧度。
对应的图像里的空间频率(波数)是单位长度转过的周期个数，角频率(角波数)是单位长度转过的弧度，数字角频率是每隔空间间隔 $L_s$ 转过的弧度。

时域频域DFT:设 $T_s$ 为时域采样间隔， $T$ 为时域周期， $f$ 为频域基频率(单位时间转过的周期个数)， $\Omega$ 为频域基角频率(单位时间转过的弧度)， $\omega$ 为频域基数字角频率(每隔 $T_s$ 转过的弧度)
由 $e^{j\omega n}=e^{j\Omega T_sn}$ 即 $\omega=\Omega T_s$
那么有 $NT_s=T$ $\frac {1} {NT_s}=f$ $\frac {1} {NT_s}*2\pi=f*2\pi=\Omega$ $\frac {2\pi} {N}=\frac {1} {NT_s}*2\pi*T_s=f*2\pi*T_s=\omega$
所以我们有
时域与频域
时域周期： $NT_s$
时域采样间隔： $T_s$ （可以看成时域基频，单位频率转过的频域周期个数，频域时域又有什么绝对之分呢）
时域采样频率： $\frac {1} {T_s}$ 频域周期

频域周期： $\frac {1} {T_s}=f_s$ , $f_s$ 即时域采样频率
基频率就是频域采样间隔
频域基频率： $\frac {1} {NT_s}$
频域基角频率： $\frac {2\pi} {NT_s}$
频域基数字角频率： $\frac {2\pi} {N}$
频域采样频率：基频率的倒数，一般取 $NT_s$ ，即时域周期

图像空间域与频域
设 $L_s$ 是一个像素点的宽度，这里仅考虑一维
空域周期： $NL_s$ ,也就是图像一行的宽度，由于图像是静止不动的，所以波长等于波速乘以周期不适用，这里周期其实就是波长 $\lambda$ ,与之前博客讲的以下公式一致
图像DFT和DCT的频域真实频率
空域采样间隔（采样周期）： $L_s$ （可以看成空域基频，单位频率转过的频域周期个数）
空域采样频率： $\frac {1} {L_s}$ ,即每隔一个像素点的宽度取一个值，用该像素点灰度值表示

频域周期： $\frac {1} {L_s}=f_s$ , $f_s$ 即空域采样频率
基频率就是频域采样间隔
频域基频率： $\frac {1} {NL_s}$ ，对应空间波长为 $NL_s$
频域基角频率： $\frac {2\pi} {NL_s}$ ，对应空间波长也是 $NL_s$
频域基数字角频率： $\frac {2\pi} {N}$ ，对应空间波长为N，即一行像素点个数
频域采样频率：基频率的倒数，一般取 $NL_s$ ，即空域周期（波长）
对于图像处理（以像素为单位）
DFT的基频取数字角频率也就是频域采样间隔，是2 $\pi$ /N, 也就是说图像空间数字角频率是u $\times2\pi$ /N，就是指每个像素点的角度变化，空间波长 $\lambda$ =2 $\pi$ / $\omega$ ，就是一个波动周期的像素点数。

如果不是图像信号
我们对空域信号采样，采样周期（采样间隔）为 $L_s=length/N$ length是一行的长度，那么采样频率为 $f_s=1/L_s=N/length$ 即个数/长度。频域发生[0,fs]的频谱搬移。[0,fs]对应于u（频域空间(u,v)表示）的[0,N-1]的取值范围。即我们在频域[0,fs]的范围内采样采了N个点，那么我们有了DFT的频率分辨率为fs/N= $\frac {1} {NL_s}$ ，即我们求出来的u并不是真实行空间频率，u $\times$ fs/N= $\frac {u} {NL_s}$ = $\frac {u} {length}$ 才是。

而我们知道DFT变换的实部相当于DCT（离散余弦变换），虚部相当于DST（离散正弦变换），即DCT的本质上还是DFT。所以有着一样的频率分辨率。

图像DFT和DCT的频域真实频率

图像的频率与波长

相关推荐