灵感的来源

下面提到的数字，单位均为毫米
来自建筑制图练习册24页第12题,做题过程中无意间想到以极坐标的思想来完成该题目.
此为原题.
原题标准答案采用直角三角形法的变式，但是我这里还想提出另外一种方法——极坐标公式法

下面给出该思想的推导方法。

延伸,极坐标与空间直角坐标系的相互转换推导

极坐标以点到极点的长度和与极轴的夹角来确定一个点位置。
在空间体系中，仍然应该存在点到极点的长度。
但是角度却不太好找。显然一个角无法确定一个点的位置，因此至少需要两个角。
另外，在三维空间体系里，以直线作为基准的两个角是难以进行定量计算的，因此直线的基准性反而没有平面来的好，也就是说，平面作为基准比以直线作为基准要精确的多。
所以角应该选择以点和极点的连线与三个基准面之间的角。

转化成具体的直观图像就是下图：
假设有一条直线,任取两点AB为线段,以A为基点建立一个空间直角坐标系.
设直线长为$l$l,与OXY,OXZ,OYZ面的夹角分别为$\alpha,\beta,γ$α,β,γ
点B坐标为$(x,y,z)$(x,y,z)
其中
$α=∠ BAD,β=∠BAE,γ=∠BAF$α=∠BAD,β=∠BAE,γ=∠BAF

根据几何关系：
在▲BAD中,有$z=BD=l \sin ∠BAE=l \sin α$z=BD=lsin∠BAE=lsinα
同理$x=l \sin γ$x=lsinγ，$y=\sin β$y=sinβ
又$x^2+y^2+z^2=l^2$x2+y2+z2=l2
所以可以得到如下表达式：
$z=l \sin α （正弦表达式）\\ x=l \sin γ （正弦表达式）\\ y=\sin β （正弦表达式）\\ x^2+y^2+z^2=l^2（距离公式）$z=lsinα（正弦表达式）x=lsinγ（正弦表达式）y=sinβ（正弦表达式）x2+y2+z2=l2（距离公式）

显然三个正弦表达式随便取两个，再与距离公式联立便可以求得点的坐标了。

具体解题

根据题目和公式直接可以计算出b相对于a的坐标为$（21,21\sqrt 2,21）$（21,212​,21）
根据数值直接画图即可。

不过长度为$21\sqrt 2$212​的线段画法比较特殊，下面给出画法。

首先画出直径为42的半圆，随后作直径的垂线交圆周，交点与直径任一端点的连线长度就是$21\sqrt 2$212​

如图：

或者直接作一个等腰直角三角形，直角边长21，斜边就是$21\sqrt 2$212​