课程地址：https://class.coursera.org/ntumlone-001/class
课件讲义：http://download.****.net/download/malele4th/10212756
注明：文中图片来自《机器学习技法》课程和部分博客
建议：建议读者学习林轩田老师原课程，本文对原课程有自己的改动和理解

Lecture 12 Neural Network

上节课我们主要介绍了Gradient Boosted Decision Tree。GBDT通过使用functional gradient的方法得到一棵一棵不同的树，然后再使用steepest descent的方式给予每棵树不同的权重，最后可以用来处理任何而定error measure。上节课介绍的GBDT是以regression为例进行介绍的，使用的是squared error measure。本节课讲介绍一种出现时间较早，但当下又非常火的一种机器算法模型，就是神经网络（Neural Network）。

目录

1 Motivation

在之前的机器学习基石课程中，我们就接触过Perceptron模型了，例如PLA算法。Perceptron就是在矩gt(x)外面加上一个sign函数，取值为{-1,+1}。现在，如果把许多perceptrons线性组合起来，得到的模型G就如下图所示：

所以说，linear aggregation of perceptrons实际上是非常powerful的模型同时也是非常complicated模型。再看下面一个例子，如果二维平面上有个圆形区域，圆内表示+1，圆外表示-1。这样复杂的圆形边界是没有办法使用单一perceptron来解决的。如果使用8个perceptrons，用刚才的方法线性组合起来，能够得到一个很接近圆形的边界（八边形）。如果使用16个perceptrons，那么得到的边界更接近圆形（十六边形）。因此，使用的perceptrons越多，就能得到各种任意的convex set，即凸多边形边界。之前我们在机器学习基石中介绍过，convex set的VC Dimension趋向于无穷大（2N$2^N$）。这表示只要perceptrons够多，我们能得到任意可能的情况，可能的模型。但是，这样的坏处是模型复杂度可能会变得很大，从而造成过拟合（overfitting）。

总的来说，足够数目的perceptrons线性组合能够得到比较平滑的边界和稳定的模型，这也是aggregation的特点之一。

2 Neural Network Hypothesis

我们之前已经介绍过三种线性模型：linear classification，linear regression，logistic regression。那么，对于OUTPUT层的分数s，根据具体问题，可以选择最合适的线性模型。如果是binary classification问题，可以选择linear classification模型；如果是linear regression问题，可以选择linear regression模型；如果是soft classification问题，则可以选择logistic regression模型。本节课接下来将以linear regression为例，选择squared error来进行衡量。

介绍完Neural Network Hypothesis的结构之后，我们来研究下这种算法结构到底有什么实际的物理意义。还是看上面的神经网络结构图，每一层输入到输出的运算过程，实际上都是一种transformation，而转换的关键在于每个权重值w(l)ij$w_{ij}^{(l)}$。每层网络利用输入x和权重w的乘积，在经过tanh函数，得到该层的输出，从左到右，一层一层地进行。其中，很明显，x和w的乘积∑d(l−1)i=0w(l)ijx(l−1)i${\sum }_{i=0}^{d^{(l-1)}}{w}_{ij}^{(l)}{x}_i^{(l-1)}$越大，那么tanh(wx)就会越接近1，表明这种transformation效果越好。再想一下，w和x是两个向量，乘积越大，表明两个向量内积越大，越接近平行，则表明w和x有模式上的相似性。从而，更进一步说明了如果每一层的输入向量x和权重向量w具有模式上的相似性，比较接近平行，那么transformation的效果就比较好，就能得到表现良好的神经网络模型。也就是说，神经网络训练的核心就是pattern extraction，即从数据中找到数据本身蕴含的模式和规律。通过一层一层找到这些模式，找到与输入向量x最契合的权重向量w，最后再由G输出结果。

3 Neural Network Learning

神经网络中，这种从后往前的推导方法称为Backpropagation Algorithm，即我们常常听到的BP神经网络算法

4 Optimization and Regularization

下面我们将主要分析神经网络的优化问题。由于神经网络由输入层、多个隐藏层、输出层构成，结构是比较复杂的非线性模型，因此Ein(w)$E_{in}(w)$可能有许多局部最小值，是non-convex的，找到全局最小值（globalminimum）就会困难许多。而我们使用GD或SGD算法得到的很可能就是局部最小值（local minimum）。

基于这个问题，不同的初始值权重w(l)ij通常会得到不同的local minimum。也就是说最终的输出G与初始权重w(l)ij有很大的关系。在选取w(l)ij上有个技巧，就是通常选择比较小的值，而且最好是随机random选择。这是因为，如果权重w(l)ij很大，那么根据tanh函数，得到的值会分布在两侧比较平缓的位置（类似于饱和saturation），这时候梯度很小，每次迭代权重可能只有微弱的变化，很难在全局上快速得到最优解。而随机选择的原因是通常对权重w(l)ij如何选择没有先验经验，只能通过random，从普遍概率上选择初始值，随机性避免了人为因素的干预，可以说更有可能经过迭代优化得到全局最优解。

防止过拟合：L2正则化

除了weight-elimination regularizer之外，还有另外一个很有效的regularization的方法，就是Early Stopping。简而言之，就是神经网络训练的次数t不能太多。因为，t太大的时候，相当于给模型寻找最优值更多的可能性，模型更复杂，VC Dimension增大，可能会overfitting。而t不太大时，能有效减少VC Dimension，降低模型复杂度，从而起到regularization的效果。Ein和Etest随训练次数t的关系如下图右下角所示：

那么，如何选择最佳的训练次数t呢？可以使用validation进行验证选择。

5 总结

本节课主要介绍了Neural Network模型。首先，我们通过使用一层甚至多层的perceptrons来获得更复杂的非线性模型。神经网络的每个神经元都相当于一个Neural Network Hypothesis，训练的本质就是在每一层网络上进行pattern extraction，找到最合适的权重w(l)ij$w_{ij}^{(l)}$，最终得到最佳的G。本课程以regression模型为例，最终的G是线性模型，而中间各层均采用tanh函数作为transform function。计算权重w(l)ij$w_{ij}^{(l)}$的方法就是采用GD或者SGD，通过Backpropagation算法，不断更新优化权重值，最终使得Ein(w)$E_{in}(w)$最小化，即完成了整个神经网络的训练过程。最后，我们提到了神经网络的可以使用一些regularization来防止模型过拟合。这些方法包括随机选择较小的权重初始值，使用weight-elimination regularizer或者early stopping等。