【计算机视觉】Lecture 3：线性算子

回忆：二维梯度

梯度 = 图像 I(x,y)的偏导数向量 = [dI(x,y)/dx , dI(x,y)/dy]
梯度向量场表示最陡上升的方向和坡度(当考虑图像像素值为一个平面/高度图时)

数值导数

有限前向差分

有限后向差分

有限中心差分：更精准

例子：空间图像梯度

注意：从现在开始，我们将去掉常数因子1/2。我们在后面去除以它。

更具体地说

线性滤波器

一般流程：形成新图像，其像素是原始像素值的加权和，在每个点使用相同的权重集合
性质：输出是输入的一个线性函数；输出是输入的平移不变函数（即输入图像向左移动两个像素，输出也向左移动两个像素）
例子：平均滤波—邻域中像素的平均值
例子：高斯滤波—邻域中像素的加权平均值
例子：找一个导数—邻域中像素的加权平均值
注意：“线性滤波器”中的“线性”表示相邻像素值的线性组合

图像滤波

根据局部领域内像素的某些函数改变图像中的像素

线性滤波

最简单：线性滤波，通过领域内像素值的线性组合去替代每一个像素
线性组合的模块称为“卷积核”
将其视为权加权和 (核指定权重)：
100+50+30+40+5*.5+10+10+11+7.5 = 7
当然，我们不想只在一个像素上执行这个操作，而是希望在整个图像上运行这个核”

卷积（二维）

给定一个核（模板）f和图像h，卷积 f * h 定义为

1）注意h(x, y)邻域的奇怪索引。结果就是 f 好像在与 h 组合之前旋转了180度一样
2）如果 f 有180度的对称性也没关系
3）加入没有关系，那就使用交叉关联代替

卷积例子

实际问题：边界处理

问题：我们如何处理核不能完全覆盖图像边界的那些像素？

不同的边界处理方法指定了不同的方法来定义图像以外像素的值
最简单的方法之一是补零，也就是我们在前面的例子中默认使用的
其他方法：
复制—每个图像以外的像素用图像中离它最近的像素值代替
其他方法：
反射—在边界处反射像素值（好像有一面小镜子）
其他方法：
环绕—当离开图像的右边框时，将环绕到左边框。类似地，当离开图像底部时，会在顶部重新输入。基本上，图像是一个大甜甜圈（或圆环）。

Matlab中的卷积

可以用conv和conv2，但可以用更新的版本：Imfilter(image,template{,option1,option2,…})
边界选项：常值，对称，复制，圆形
输出尺寸选项：和图像一样，或者全尺寸 (包括当mask在图像外的时候计算的部分值)
Corr或者conv选项：卷积旋转模板（我们之前所讨论的那样）。相关性没有。
尝试在命令行中输入“help imfilter”了解更多细节

卷积的性质

交换律：$f * g = g * f$f∗g=g∗f
结合律：$(f * g) * h = f * (g * f)$(f∗g)∗h=f∗(g∗f)
分配律：$(f * g) * h = f * h + g * h$(f∗g)∗h=f∗h+g∗h
线性：$(a f * b g) * h = a f * h + b g * h$(af∗bg)∗h=af∗h+bg∗h
平移不变性：$f(x+t) * h = (f * h)(x+t)$f(x+t)∗h=(f∗h)(x+t)
微分规则：

线性滤波

F (2m+1)x(2m+1) mask
例如

回到梯度…

有限差分滤波器

用卷积核计算有限差分
垂直边：
卷积：
水平边：
卷积：

例子：空间图像梯度