破圈法求解最小生成树c语言实现（已验证）
破圈法求解最小生成树c语言实现（已验证）
破圈法求解最小生成树c语言实现（已验证）
下面是算法伪代码，每一个算法都取一个图作为输入，并返回一个边集T。
对该算法，证明T是一棵最小生成树，或者证明T不是一棵最小生成树。此外，对于每个算法，无论它是否能计算出一棵最小生成树，都要给出其最有效的实现。
MAYBE-MST-A(G，w)
Sort the edges into nonincreasing order of edge weights w
T<-E
For each edge e, taken in nonincreasing order by weight
Do if T-{e} is a connected graph
Then T<-T-e
Return T
算法基本思想：
先将图G的边按照权的递减顺序排列后，依次检验每条边，在保持连通的情况下，每次删除最大权边，直到所有边都被遍历到无法删除任何一边（或余下n-1条边为止）。
证明：
生成树证明：
1、 如果给定连通图G没有回路，那么G本身就是一棵生成树
2、 如果G中只有一个回路，则删去G的回路上的一条边（不删除节点），则产生的图仍是连通的且没有回路，则得到的子图就是G的一棵生成树；
3、 如果G的回路不止一个，只要删去每一个回路上的一条边，知道G的子图是连通且没有回路且与图G有一样的结点集，那么这个子图就是一棵生成树。
4、 重复步骤3，则直到所有边都不能删除，由于删除判断条件，得到的子图就是一棵生成树。
MST证明：
若在某个回路C中有一条唯一的最长边，则T*中一定不含这条边，因为优先删除回路中最长的边。
若在某个边e的割集中有一条唯一一条最短边，则T*中一定含有这条边（The Cut Property：考虑图G中的一条边e。如果存在一个cut(A,B)，使得e是所有跨越该割的所有边中权重最小者，则e一定在G的MST中。
），且不含有其他边，因为一旦含有其他边就构成了回路（Lonely-Cut Corollary：如果边e是跨越了cut(A, B)的唯一一条边,则e不可能在任一圈中。）。
反向证明：假设T*中跨越cut（A,B）的边不只一条，则在算法结束之前一定会遍历到其中的成圈的边（Double-Crossing），根据权值选取方法和删除圈的一边仍为连通图的条件，一定会将权值较大的边删除，直到无环且剩下的唯一一条边是最短边。
算法变量：
a[n][n]:带权图的邻接矩阵,a[i][j]=w或a[i][j]=0；
max:标记当前找到的准备删去的边的权值；
p:标记找到的要删去的权值所在的行号；
q:标记找到的要删去的权值所在的列好；
am：标记找到的最大元素（am是为了保护权值大但不能删的边），如果a[i][j]不能删除，则可以让a[p][q]=am，a[q][p]=am来还原刚才删去的边；
I,j:二维数组的行号和列号
sm:图的边数，每删除一个边，sm就减1，当sm=n-1时，结束
wt：最小生成树的权值和
算法实现（c语言）
1 #include<stdio.h>
BY Yuanshuai Zheng,UESTC
2 #define n 5
3 int a[n][n];
4 int flag,am,p,q;
5 INPUT()
6 {
7 int i,j;
8 printf("输入图的带权邻接矩阵：\n");
9 for(i = 0;i<n;i++)
10 {
11 for(j=0;j<n;j++)
12 scanf("%d",&a[i][j]);
13 }
14 }
15 OUTPUT(int a[n][n])
16 {
17 int i,j;
18 for(i=0;i<n;i++)
19 {
20 for(j=0;j<n;j++)
21 printf("%5d",a[i][j]);
22 printf("\n");
23 }
24 }
25 MAX(int a1[n][n],int am1,int p1,int q1)
26 {
27 int i,j,ptm,qtm;
28 int max;
29 max = 0;
30 for(i=0;i<n;i++)
31 {
32 for(j=i;j<n;j++)
33 if((a1[i][j]>max)&&(a1[i][j]<=am1)&&((i!=p1)||(j!=q1)))
34 {
35 max = a1[i][j];
36 ptm = i;
37 qtm = j;
38
39 }
40 }
41 am = max;
42 printf("max=%5d\t",am);
43 p = ptm;
44 q = qtm;
45 a[p][q]=0;
46 a[q][p]=0;
47 }
48 WSHALL(int array[n][n])
49 {
50 int i,j,k,m=0;
51 int r[n][n],B[n][n];
52 for(i=0;i<n;i++)
53 {
54 for(j=0;j<n;j++)
55 {
56 r[i][j]=0;
57 B[i][j]=array[i][j];
58 //分界线
59 if(array[i][j]>=1)
60 B[i][j]=1;
61 else
62 B[i][j]=0;
63 //分界线
64 }
65 }
66 for(j=0;j<n;j++)
67 {
68 for(i=0;i<n;i++)
69 if(B[i][j]>=1)
70 {
71 for(k=0;k<n;k++)
72 {
73 if(B[k][i]>=1)
74 {
75 B[k][j]=B[j][k]=1;
76 }
77 }
78 }
79 }
80 for(i=0;i<n;i++)
81 {
82 for(j=0;j<n;j++)
83 if(!B[i][j])
84 {
85 return 0;
86 }
87 }
88 return 1;
89 }
90
91 //方法1
92 // for(k=0;k<n;k++)
93 // B[i][j]=B[i][k]+B[j][k];
94 // }
95 // }
96 // for(i=0;i<n;i++)
97 // {
98 // for(j=0;j<n;j++)
99 // {
100 // r[i][j]=B[i][j];
101 // {
102 // if((r[i][j]>=1)||(i==j))
103 // m=m+1;
104 // }
105 // }
106 // }
107 // printf("m=%d\t",m);
108 // if(m==n*n)
109 // flag = 1;
110 // else
111 // flag=0;
112 // return(flag);
113
114 int main()
115 {
116 int i,j,sm,wt=0;
117 am = 10000,p=-1,q=-1,sm=0;
118 INPUT();
119 for(i=0;i<n;i++)
120 {
121 for(j=i;j<n;j++)
122 {
123 if(a[i][j]>0)
124 sm = sm+1;
125 }
126 }
127 printf("\nsm=%d\n",sm);
128 printf("输出图的带权邻接矩阵：\n");
129 OUTPUT(a);
130 printf("\n");
131 while(sm>n-1)
132 {
133 MAX(a,am,p,q);
134 flag=WSHALL(a);//华沙尔算法判断是否连通
135 //printf("flag= %d",flag);
136 {
137 if(flag==1)
138 {
139 sm=sm-1;
140 //printf("flag= %d",flag);
141 }
142 else
143 {
144 a[p][q]=am;
145 a[q][p]=am;
146 }
147 }
148 }
149 for(i=0;i<n;i++)
150 for(j=i;j<n;j++)
151 {
152 wt=wt+a[i][j];
153 }
154 printf("\n\n输出最小生成树的带权邻接矩阵：\n");
155 OUTPUT(a);
156 printf("最小生成树的树权是: %d\n",wt);
157 }
158 代码验证：
例子：
0
6
10
0
0
6
0
3
8
5
10
3
0
6
7
0
8
6
0
0
0
5
7
0
0
posted @ 2018-04-18 02:15 Edge_of_Eternity 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏