高等数学：如何求二元函数的极值问题

1. 二元函数的极值与驻点 




例题
求函数 $f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$f(x,y)=x3−y3+3x2+3y2−9x的极值：
$f_x (x,y)=3x^2+6x-9=0$fx​(x,y)=3x2+6x−9=0
$f_y(x,y)=-3y2+6y=0$fy​(x,y)=−3y2+6y=0
求得驻点为：(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)
再求出二阶偏导数
$f_{xx}(x,y)=6x+6$fxx​(x,y)=6x+6
$f_{xy}(x,y)=0$fxy​(x,y)=0
$f_{yy}(x,y)=-6y+6$fyy​(x,y)=−6y+6
对各驻点进行判断：
在点（1,0）处，$AC-B^2=12*6>0$AC−B2=12∗6>0，又A>0，所以函数在（1,0）处有极大值f(1,0)=-5，
其他以此类推。
二、拉格朗日乘数法及条件极值

例1：

例2：

其实这道题是kkt条件的一个应用。

对于不等值约束，我们可以先计算二元函数的一个极值，判断极值是否在限制条件内（即求出来的极值点是否满足限制条件），如果是代表解在限制条件内部直接求极值，如果不是代表点在限制条件外部，则最小值一定是限制条件函数的边缘，此时相当于等值约束。
例2：如果我将限制条件改为$y>x^2且y>=x$y>x2且y>=x此时题目怎么做