简洁直观的罗德里格斯旋转点轴方程推导

约定符号

• 点乘
  $A \cdot B = B \cdot A$A⋅B=B⋅A
• 叉乘
  $A \times B= -B \times A$A×B=−B×A
• 数乘
  $\alpha B = B\alpha$αB=Bα

$\vec{p}$p​ 绕单位向量 $\vec{n}$n 逆时针旋转$\mu$μ弧度

$\vec{q}=\vec{ON}+\vec{NW}+\vec{WQ}$q​=ON+NW+WQ​

1. $\vec{ON}=(\vec{p} \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n}$ON=(p​⋅n)⋅n

2. $\vec{NW}=\frac{\vec{p}-(\vec{p} \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n}}{||\vec{p}-(\vec{p} \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n}||}||\vec{NQ}||cos \mu$NW=∣∣p​−(p​⋅n)⋅n∣∣p​−(p​⋅n)⋅n​∣∣NQ​∣∣cosμ
   由于：$||\vec{NQ}||=||\vec{NP}||=||\vec{p}-(\vec{p} \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n}||$∣∣NQ​∣∣=∣∣NP∣∣=∣∣p​−(p​⋅n)⋅n∣∣
   $\vec{NW}=(\vec{p}-(\vec{p} \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n})cos \mu$NW=(p​−(p​⋅n)⋅n)cosμ

3. $\vec{WQ}=\frac{\vec{p} \times \vec{n}}{||\vec{p}||sin \phi}||\vec{NQ}||sin\mu$WQ​=∣∣p​∣∣sinϕp​×n​∣∣NQ​∣∣sinμ
   由于: $||\vec{NQ}||=||\vec{NP}||=||\vec{p}||sin \phi$∣∣NQ​∣∣=∣∣NP∣∣=∣∣p​∣∣sinϕ
   $\vec{WQ}=-sin\mu(\vec{n} \times \vec{p})$WQ​=−sinμ(n×p​)

综上所述，推导得到罗德里格斯公式：
$\vec{q}=(1-cos \mu)(\vec{p} \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n} + cos \mu \vec{p} - sin \mu(\vec{n} \times \vec{p})$q​=(1−cosμ)(p​⋅n)⋅n+cosμp​−sinμ(n×p​)