合同变换为什么是一个行变换再跟一个相应的列变换？

01 为什么合同变换总是一对一对的？

定义 两个$n$n阶方阵$A$A和$B$B满足关系：$B=C^TAC$B=CTAC，其中$C$C是可逆矩阵，则称$A$A和$B$B合同。

在用合同变换计算二次型$X^TAX$XTAX的标准形时，要求对分块矩阵$\begin{pmatrix} A\\E \end{pmatrix}$(AE​)每进行一个行变换时都要接着做一个相应的列变换，为什么是这样呢？

原因很简单，合同的定义$B=C^TAC$B=CTAC中，矩阵乘积$C^TA$CTA解释为对矩阵$A$A作一系列行变换，而矩阵乘积$AC$AC解释为对$A$A作一系列相应的列变换。合起来$C^TAC$CTAC就是对$A$A进行一系列的行变换和一系列相应的列变换后可以得到$B$B。

02 详细解释

当$C$C为初等矩阵时，容易看出合同变换中行变换和列变换的相应性。下面以三阶矩阵为例，进行具体说明。初等矩阵有三种：（1）交换两行（列）；（2）将某行（列）乘以非0实数$k$k；（3）将某一行（列）的$k$k倍加至另一行（列）。

例1 设$C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$C=⎝⎛​010​100​001​⎠⎞​, $A=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$A=⎝⎛​adg​beh​cfi​⎠⎞​.
$C^TAC=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} d & e & f\\ a & b & c \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}(左乘的结果等于交换1、2行)\\ =\begin{pmatrix} e & d & f\\ b & a & c \\ h & g & i \end{pmatrix}(交换1、2列)$CTAC=⎝⎛​010​100​001​⎠⎞​⎝⎛​adg​beh​cfi​⎠⎞​⎝⎛​010​100​001​⎠⎞​=⎝⎛​dag​ebh​fci​⎠⎞​⎝⎛​010​100​001​⎠⎞​(左乘的结果等于交换1、2行)=⎝⎛​ebh​dag​fci​⎠⎞​(交换1、2列)

例2 设$C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$C=⎝⎛​100​0k0​001​⎠⎞​, $A=\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$A=⎝⎛​adg​beh​cfi​⎠⎞​.
$C^TAC =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ = \begin{pmatrix} a & b & c\\ kd & ke & kf \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ =\begin{pmatrix} a & kb & c\\ kd & k^2e & kf \\ g & kh & i \end{pmatrix}$CTAC=⎝⎛​100​0k0​001​⎠⎞​⎝⎛​adg​beh​cfi​⎠⎞​⎝⎛​100​0k0​001​⎠⎞​=⎝⎛​akdg​bkeh​ckfi​⎠⎞​⎝⎛​100​0k0​001​⎠⎞​=⎝⎛​akdg​kbk2ekh​ckfi​⎠⎞​

聪明的读者，你能自己写出第三种情形吗？

03 最后结果中D和C的含义

算法：$\begin{pmatrix} A\\E \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}D \\C \end{pmatrix}$(AE​)→(DC​)，用合同变换将$A$A变成对角阵$D$D时，$E$E就变成非退化线性替换矩阵$C$C。

由于对$A$A作的是一个完整的合同变换，所以对角矩阵$D$D与$A$A合同，也就是说$D$D是原二次型的标准形的矩阵。而$C$C只记录了所有的列变换，所以$C$C就是将原二次型$X^TAX$XTAX化为新二次型$Y^TDY$YTDY的非退化线性替换矩阵。用公式表示为：

$X^TAX\xlongequal[]{X=CY}Y^TDY$XTAXX=CY​YTDY

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