数据结构实验之查找二：平衡二叉树

Problem Description
根据给定的输入序列建立一棵平衡二叉树，求出建立的平衡二叉树的树根。
Inpu
输入一组测试数据。数据的第1行给出一个正整数N(n <= 20)，N表示输入序列的元素个数；第2行给出N个正整数，按数据给定顺序建立平衡二叉树。
Output
输出平衡二叉树的树根。
Sample Input
5
88 70 61 96 120
Sample Output
70
Hint
Source
xam

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct BiTNode{
	int data;
	BiTNode *lchild,*rchild;
	int id;
}BiTNode,*BiTree;
int max(int a,int b){
	return a>b?a:b;
}
int depth(BiTree T){
	if(!T)
	return -1;
	return T->id;
}
BiTree LL(BiTree T){//右旋 
	BiTree q = T->lchild;
	T->lchild = q->rchild;
	q->rchild = T;
	q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;
	T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
	return q;
}
BiTree RR(BiTree T){//左旋 
	BiTree q = T->rchild;
	T->rchild = q->lchild;
	q->lchild = T;
	q->id = max(depth(q->lchild),depth(q->rchild))+1;
	T->id = max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
	return q;
}
BiTree LR(BiTree T){
	T->lchild = RR(T->lchild);//先左 
	return LL(T);//后右 
}
BiTree RL(BiTree T){
	T->rchild = LL(T->rchild);//先右 
	return RR(T);//后左 
}
void creat(BiTree &T,int key){
	if(T==NULL){
		T= new BiTNode;
		T->data = key;
		T->lchild = T->rchild = NULL;
		T->id = 0;
	}
	else{
		if(key<T->data){
			creat(T->lchild,key);
			if(depth(T->lchild)-depth(T->rchild)>1){
				if(key < T->lchild->data)
				T=LL(T);
				else
				T=LR(T);
			}
		}
		else if(key>T->data){
			creat(T->rchild,key);
			if(depth(T->rchild)-depth(T->lchild)>1){
				if(key>T->rchild->data)
				T=RR(T);
				else
				T=RL(T);
			}
		}
	}
	T->id=max(depth(T->lchild),depth(T->rchild))+1;
}
int main(){
	int n,i;
	int a[22];
	BiTree T;
	T = NULL;
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		creat(T,a[i]);
	}
	printf("%d\n",T->data);
	return 0;
}

一、平衡二叉树的构造

在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树

1.调整方法

（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点

（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。

2.调整方式

（1）LL型

LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。
数据结构实验之查找二：平衡二叉树
（2）RR型
RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转

由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。
数据结构实验之查找二：平衡二叉树
（3）LR型
LR型：插入位置为左子树的右孩子，要进行两次旋转，先左旋转，再右旋转；第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树，第二次再调整最小不平衡子树。

由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F，A的平衡因子由1变为了2，成为不平衡的最小二叉树根结点。第一次旋转A结点不动，先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。
数据结构实验之查找二：平衡二叉树
（4）RL型
RL型：插入位置为右子树的左孩子，进行两次调整，先右旋转再左旋转；处理情况与LR类似。

数据结构实验之查找二：平衡二叉树
以上内容转自：http://blog.****.net/zhuyingqingfen/article/details/6530434感谢大神。
3.建平衡二叉树
创建平衡二叉树，我们采用依次插入节点的方式进行。而平衡二叉树上插入节点采用递归的方式进行。递归算法如下：

（1）若该树为一空树，那么插入一个数据元素为e的新节点作为平衡二叉树的根节点，树的高度增加1。

（2）若待插入的数据元素e和平衡二叉树（BBST）的根节点的关键字相等，那么就不需要进行插入操作。

（3）若待插入的元素e比平衡二叉树（BBST）的根节点的关键字小，而且在BBST的左子树中也不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入在BBST的左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加1时，分别就下列情况处理之。

(a) BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度）：则将根节点的平衡因子更改为0，BBST的深度不变；

(b) BBST的根节点的平衡因子为0（左右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子修改为1，BBST的深度增加1；

若BBST的左子树根节点的平衡因子为-1，则需进行先向左，后向右的双向旋转平衡处理，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；

（4）若e的关键字大于BBST的根节点的关键字，而且在BBST的右子树中不存在和e有相同关键字的节点，则将e插入到BBST的右子树上，并且当插入之后的右子树深度加1时，分别就不同的情况处理之。

（a） BBST的根节点的平衡因子是1（左子树的深度大于右子树的深度）：则将根节点的平衡因子修改为0，BBST的深度不变；

（b） BBST的根节点的平衡因子是0（左右子树的深度相等）：则将根节点的平衡因子修改为-1，树的深度加1；

（c） BBST的根节点的平衡因子为-1（右子树的深度大于左子树的深度）：若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行两次选择，第一次先向右旋转，再向左旋转处理，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变；

若BBST的右子树根节点的平衡因子为1，则需要进行一次向左的旋转处理，并且在左旋之后，更新根节点和其左，右子树根节点的平衡因子，树的深度不变。

数据结构实验之查找二：平衡二叉树

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