稀疏矩阵

矩阵的存储方式

完全存储方式：将矩阵的全部元素按列存储。
稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。
注意,采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。

A矩阵的稀疏存储方式：
（1，1），1
（3，1），2
（2，2），5
（3，4），7
当矩阵的规模很大时，采用稀疏存储方式可以大大节约存储空间。

稀疏存储方式的产生

（1）完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

A=sparse(S)：将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。
S=full(A)：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S。

（2）直接建立稀疏存储矩阵

sparse函数的其他调用格式：

sparse(m,n)：生成一个m×n的所有元素都是零的稀疏矩阵。
sparse(u,v,S)：其中u、v、S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标。

使用spconvert函数直接建立稀疏存储矩阵，其调用格式为：
B=spconvert(A)
其中，A为一个m×3或m×4的矩阵，其每行表示一个非零元素，m是非零元素的个数。
 A(i,1)表示第i个非零元素所在的行。
 A(i,2)表示 第i个非零元素所在的列。
 A(i,3)表示第i个非零元素值的实部。
 A(i,4)表示第i个非零元素值的虚部。
若矩阵的全部元素都是实数，则无须第4列。

（3）带状稀疏矩阵的稀疏存储

 稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。

 带状稀疏矩阵就是一种十分典型的具有规则结构的稀疏矩阵，它是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

 [B,d]=spdiags(A)：从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d。

 A=spdiags(B,d,m,n)：产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵A，其中m、n为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置。

利用带状稀疏矩阵非零对角线元素组成的矩阵B，以及对角线位置组成的向量d，命令执行后产生一个稀疏存储矩阵A。

总 结
用spdiags函数产生带状稀疏矩阵的稀疏存储A：

A=spdiags(B,d,m,n)

其中，m、n为原带状矩阵的行数与列数。B为r×p矩阵，这里r=min(m,n)，p为原带状矩阵所有非零对角线的条数，矩阵B的第i列即为原带状矩阵的第i条非零对角线。取值方法是：若非零对角线上元素个数等于r，则取全部元素；若非零对角线上元素个数小于r，则应该用零补足到r个元素。补零的原则是：若m0时（主对角线以上）在后面补0；当m≥n（行数≥列数），则d<0时在后面补0；d>0时在前面补0。

（4）单位矩阵的稀疏存储
speye(m,n)返回一个m×n的稀疏存储单位矩阵。

稀疏矩阵的应用实例

求下列三对角线性方程组的解。