跳跃表Skip List的原理和实现

二分查找和AVL树查找

二分查找要求元素可以随机访问，所以决定了需要把元素存储在连续内存。这样查找确实很快，但是插入和删除元素的时候，为了保证元素的有序性，就需要大量的移动元素了。
如果需要的是一个能够进行二分查找，又能快速添加和删除元素的数据结构，首先就是二叉查找树，二叉查找树在最坏情况下可能变成一个链表，
于是就出现了平衡二叉树，根据平衡的算法不同有AVL树，B-Tree，B+Tree，红黑树等，但是AVL树实现起来比较复杂，
平衡操作较难理解，这时候就可以用SkipList跳跃表结构。

 

什么是跳跃表

Skip list(跳表）是一种可以代替平衡树的数据结构，默认是按照Key值升序的。Skip list让已排序的数据分布在多层链表中，以0-1随机数决定一个数据的向上攀升与否，通过“空间来换取时间”的一个算法，在每个节点中增加了向前的指针，在插入、删除、查找时可以忽略一些不可能涉及到的结点，从而提高了效率。
在Java的API中已经有了实现：分别是
ConcurrentSkipListMap(在功能上对应HashTable、HashMap、TreeMap) ；
ConcurrentSkipListSet(在功能上对应HashSet)
跳跃表以有序的方式在层次化的链表中保存元素， 效率和AVL树媲美 —— 查找、删除、添加等操作都可以在O(LogN)时间下完成， 并且比起二叉搜索树来说， 跳跃表的实现要简单直观得多。

 

从图中可以看到， 跳跃表主要由以下部分构成：

表头（head）：负责维护跳跃表的节点指针。
跳跃表节点：保存着元素值，以及多个层。
层：保存着指向其他元素的指针。高层的指针越过的元素数量大于等于低层的指针，为了提高查找的效率，程序总是从高层先开始访问，然后随着元素值范围的缩小，慢慢降低层次。
表尾：全部由 NULL 组成，表示跳跃表的末尾。

 

跳跃表的构造

一个跳表，应该具有以下特征：

• 一个跳表应该有几个层（level）组成；
• 跳表的第一层包含所有的元素；
• 每一层都是一个有序的链表；
• 如果元素x出现在第i层，则所有比i小的层都包含x；
• 第i层的元素通过一个down指针指向下一层拥有相同值的元素；
• 在每一层中，-1和1两个元素都出现(分别表示INT_MIN和INT_MAX)；
• Top指针指向最高层的第一个元素。

以下面的链表为例演示如何构造一个跳跃表：

构造一个3层的跳跃表：

Skip List构造步骤：
1、给定一个有序的链表。
2、选择连表中最大和最小的元素，然后从其他元素中按照一定算法（随机）随即选出一些元素，将这些元素组成有序链表。这个新的链表称为一层，原链表称为其下一层。
3、为刚选出的每个元素添加一个指针域，这个指针指向下一层中值同自己相等的元素。Top指针指向该层首元素
4、重复2、3步，直到不再能选择出除最大最小元素以外的元素。 

 

跳跃表的实现

 通过在节点数据结构中维护多个指针，用空间换时间的方式实现高效率的查找。

 

 

 

 

 

为什么选择跳表

目前经常使用的平衡数据结构有：B树，红黑树，AVL树，Splay Tree, Treep等。

 

想象一下，给你一张草稿纸，一只笔，一个编辑器，你能立即实现一颗红黑树，或者AVL树

出来吗？ 很难吧，这需要时间，要考虑很多细节，要参考一堆算法与数据结构之类的树，

还要参考网上的代码，相当麻烦。

 

用跳表吧，跳表是一种随机化的数据结构，目前开源软件 Redis 和 LevelDB 都有用到它，

它的效率和红黑树以及 AVL 树不相上下，但跳表的原理相当简单，只要你能熟练操作链表，

就能轻松实现一个 SkipList。

 

有序表的搜索

考虑一个有序表：

 

从该有序表中搜索元素 < 23, 43, 59 > ，需要比较的次数分别为 < 2, 4, 6 >，总共比较的次数

为 2 + 4 + 6 = 12 次。有没有优化的算法吗?  链表是有序的，但不能使用二分查找。类似二叉

搜索树，我们把一些节点提取出来，作为索引。得到如下结构：

 这里我们把 < 14, 34, 50, 72 > 提取出来作为一级索引，这样搜索的时候就可以减少比较次数了。

 我们还可以再从一级索引提取一些元素出来，作为二级索引，变成如下结构：

 

  

 

     这里元素不多，体现不出优势，如果元素足够多，这种索引结构就能体现出优势来了。

 

跳表

下面的结构是就是跳表：

 其中 -1 表示 INT_MIN， 链表的最小值，1 表示 INT_MAX，链表的最大值。

 

 

跳表具有如下性质：

(1) 由很多层结构组成

(2) 每一层都是一个有序的链表

(3) 最底层(Level 1)的链表包含所有元素

(4) 如果一个元素出现在 Level i 的链表中，则它在 Level i 之下的链表也都会出现。

(5) 每个节点包含两个指针，一个指向同一链表中的下一个元素，一个指向下面一层的元素。

 

跳表的搜索

 

例子：查找元素 117

(1) 比较 21， 比 21 大，往后面找

(2) 比较 37,   比 37大，比链表最大值小，从 37 的下面一层开始找

(3) 比较 71,  比 71 大，比链表最大值小，从 71 的下面一层开始找

(4) 比较 85， 比 85 大，从后面找

(5) 比较 117， 等于 117， 找到了节点。

 

具体的搜索算法如下： 

 

C代码   

1. /* 如果存在 x, 返回 x 所在的节点， 
2.  * 否则返回 x 的后继节点 */  
3. find(x)   
4. {  
5.     p = top;  
6.     while (1) {  
7.         while (p->next->key < x)  
8.             p = p->next;  
9.         if (p->down == NULL)   
10.             return p->next;  
11.         p = p->down;  
12.     }  
13. }  

 

 

跳表的插入

先确定该元素要占据的层数 K（采用丢硬币的方式，这完全是随机的）

然后在 Level 1 ... Level K 各个层的链表都插入元素。

例子：插入 119， K = 2

 

如果 K 大于链表的层数，则要添加新的层。

例子：插入 119， K = 4

 

丢硬币决定 K

插入元素的时候，元素所占有的层数完全是随机的，通过一下随机算法产生：

 

C代码   

1. int random_level()  
2. {  
3.     K = 1;  
4.   
5.     while (random(0,1))  
6.         K++;  
7.   
8.     return K;  
9. }  

 

相当与做一次丢硬币的实验，如果遇到正面，继续丢，遇到反面，则停止，

用实验中丢硬币的次数 K 作为元素占有的层数。显然随机变量 K 满足参数为 p = 1/2 的几何分布，

K 的期望值 E[K] = 1/p = 2. 就是说，各个元素的层数，期望值是 2 层。

 

 

跳表的高度。

n 个元素的跳表，每个元素插入的时候都要做一次实验，用来决定元素占据的层数 K，

跳表的高度等于这 n 次实验中产生的最大 K，待续。。。

 

跳表的空间复杂度分析

根据上面的分析，每个元素的期望高度为 2， 一个大小为 n 的跳表，其节点数目的

期望值是 2n。

 

跳表的删除

在各个层中找到包含 x 的节点，使用标准的 delete from list 方法删除该节点。

例子：删除 71

 

 

随机的层高level-相关资料

http://blog.****.net/kisimple/article/details/38706729

http://blog.****.net/unix21/article/details/10197115