常见的几种矩阵分解

1.三角分解(LU分解)
矩阵的LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵与上三角矩阵的乘积。本质上，LU分解是高斯消元的一种表达方式。首先，对矩阵A通过初等行变换将其变为一个上三角矩阵。对于学习过线性代数的同学来说，这个过程应该很熟悉，线性代数考试中求行列式求逆一般都是通过这种方式来求解。然后，将原始矩阵A变为上三角矩阵的过程，对应的变换矩阵为一个下三角矩阵。这中间的过程，就是Doolittle algorithm(杜尔里特算法)。

转一个Tony Ma同学写的例子：
若AX=b是一个非奇异系统，那么高斯消元法将A化简为一个上三角矩阵。若主轴上没有0值，则无需交互行，因此只需进行第3类初等行变换（把第 i 行加上第 j 的 k 倍）即可完成此变换。例如

第3类行变换可以通过左乘相应的初等矩阵image实现，对上例来说进行的3个变换就是相应初等矩阵的乘积。注意最右边是一个下三角矩阵L

1）U是高斯消元的结果，且对角线上是主元
2）L对角线上是1，对角线下面的元素image恰恰是在式1中用于消去（i,j）位置上元素的乘子。

LU分解常用来求解线性方程组，求逆矩阵或者计算行列式。例如在计算行列式的时候，A=LUA=LU，det(A)=det(L)det(U)det(A)=det(L)det(U)。而对于三角矩阵来说，行列式的值即为对角线上元素的乘积。所以如果对矩阵进行三角分解以后再求行列式，就会变得非常容易。

在线性代数中已经证明，如果方阵AA是非奇异的，即AA的行列式不为0，LU分解总是存在的。

并非所有矩阵都能进行LU分解，能够LU分解的矩阵需要满足以下三个条件：

1.矩阵是方阵（LU分解主要是针对方阵）；
2.矩阵是可逆的，也就是该矩阵是满秩矩阵，每一行都是独立向量；
3.消元过程中没有0主元出现，也就是消元过程中不能出现行交换的初等变换。
2.QR分解
QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图可以形象地表示QR分解：


3.Jordan分解
我们将下面的 k×k 阶方阵