常见积分和导数的推导

导数：

1.$y=arcsinx$y=arcsinx的导数：
$\\y=\arcsin x\\ \rightarrow x=\sin y\\ \rightarrow 1={y}'\cos y\\ \rightarrow {y}'=\frac{1}{\cos y}\\ \rightarrow {y}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$y=arcsinx→x=siny→1=y′cosy→y′=cosy1​→y′=1−x2​1​
2.$y=arctanx$y=arctanx的导数：
$\\y=\arctan x\\ \rightarrow x=\tan y\\ \rightarrow 1=\frac{{y}'}{\cos^{2}y}\\ \rightarrow {y}'=\cos^{2}y\\ \rightarrow {y}'=\frac{1}{1+x^{2}}$y=arctanx→x=tany→1=cos2yy′​→y′=cos2y→y′=1+x21​

下面都是同理，原理是隐函数求导。

$y=arccosx$y=arccosx的导数
$y=arccotx$y=arccotx的导数
$y=arcsecx$y=arcsecx的导数
$y=arccscx$y=arccscx的导数

三角函数的导数、等式、相互的转换关系，可以看之前写的

积分：

1.${\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{a^{2}-x^{2}} }$∫a2−x2dx​

2.${\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} }$∫x2−a2​dx​

在math.stackexchange里面看到了一个相当NB的解答，这种解法同样可以求${\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} }$∫x2+a2​dx​

3.${\color{DarkBlue}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} }$∫x2+a2​dx​
解法同上，只有y的值改变了，其他都不变。

4.${\color{DarkBlue}\int \sec xdx }$∫secxdx