Support Vecot Mechine, SVM 学习笔记

SVM一般翻译为支持向量机，最初在文本分类领域展露头角，后成为机器学习的主流技术，其求解较神经网络一般要高效，最初只适用于二类划分。理论上来说，通过one-vs-all的思想，二类划分的方法都可以转化为多类划分。下面主要参考吴恩达的机器学习课程和周志华的“西瓜书”写的学习笔记，供大家参考、交流：

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分类间隔和Magin

SVM方法被称为最大间隔分类，考虑一个两个feature的例子，如下图所示，所有的划分都是正确的，但显然红色的线是最好的划分，因为其抵抗扰动的能力更强，容错性更好，鲁棒性好。两类中最靠近分类界限的点沿分类线（平面）的距离最大，这个距离就是所谓的magin，中文应该是间隔的意思。

support vector

如下图中的红色两个点，分别是离分类线（平面）最近的点。每个样本点都可以作为一个向量，两个红色点对应的向量称为support vector。一般将support vector议成支持向量，个人认为不太贴切。事实上support在结构力学中表示支座支承的意思，support vector像支座一样将两类样本撑开，可能翻译为支承向量更为贴切。machine的原意是指机器，但在机器学习中一般可以理解为算法的意思。事实上，svm方法的重点就在于使得support vector之间的magin最小。

SVM基本型(以二维线性可分的情况为例)

像上图中的样本分析情况，可以找到一个直线将两类样本点分开(显然大多数问题不一定能找到直线将样本正确地分开)，其中y=±1。记分类的直线为ωTx+b=0，二维情况下方程表示的是直线，三维是平面，更高维的情况是超平面了。ω是法向量，b是位移项。
由解析几何的知识易知，空间中认为一点x到超平面的距离d为

对于任一分类正确的样本(xi,yi)有不等式(ωTxi+b)yi>0。那么在这个不等式成立的基础上一定可以找到新的超平面参数(ω′,b′)，使得(ω′Txi+b′)yi≥1成立。当且仅当，样本为support vector的时候，不等式的等号成立。再结合距离公式，两个异类的support vector到超平面的法向距离之和 magin 为(为表述方便，记号换回原来的)

SVM方法不仅要求样本分类正确，还希望分类的magin能够尽可能地大，由此可以得到svm方法的基本型

上式可以等价为

可以证明，该规划问题可以转化为凸二次规划，因此svm方法不必担心收敛到局部最优点的问题。此外还可利用support vector的性质，对优化求解过程进行加速，因此svm方法求解较为高效。
此外，由svm的基本型可以看出，优化目标函数仅与support vector有关，最终得到的超平面也仅与support vector有关。

核方法(kernel tricks)

很多情况下，不同样本之间并不是线性可分的，如下图需要用一个非线性的方程将两个样本分块，那么此时svm方法是不是就失效了呢？

此时需要将样本空间映射到更高维的空间中，即x→ϕ(x),使得在这个高维的空间中，样本时线性可分的ϕ(x)就称为核函数，这种思想就称为核方法(kernel tricks)。数学上，可以证明如原样本空间是有限维的，那么就一定存在一个高维空间使得样本线性可分。svm方法得基本型可以相应地改写为：

在核函数满足某种数学条件得情况下，带核的svm方法同样具有凸性和计算效率较高的优点。

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