网络性能分析：Y.Rapp近似方法

前言

这学期上了网络性能分析的课，第四章讲到一个近似方法。当时老师说不太清楚怎么得到的，我就上网查了一下。发现这个东西被引量还蛮高的，但是网上只有论文题目，没有很具体的资料。

我在网上，包括ieeexplore找了一圈无果，最后通过北邮图书馆找到了这篇文章。我国的学术资源还是可以的，就是只对学生开放，有点敝帚自珍的意思。

这估计也是本学渣大学生涯，不算明年毕设吧，唯一一次用图书馆了。在此也感谢图书馆的荆老师在疫情期间回复我邮件，上班后第一时间为我把几十页的论文拍了下来。

本次先看一下这个近似方法吧，在原文的附录部分。正文估计我也看不太懂，有空再说。

符号约定

这里说明一下原文使用的符号，和教科书不太一样：

爱尔兰B公式计算的阻塞率B：E
原泊松流呼叫流量a：A
原泊松流线数s：n
溢出呼叫流均值$\alpha$α：M
溢出呼叫流方差$\nu$ν：V
峰值因子z：$\theta$θ

概述

首先理解一下这里“近似”的意义。
通俗地说吧，我们求的是“能得到这样的溢出流”的泊松流。有人说了，我溢出流就是泊松流算出来的，这不是又回去了吗？它的用途在于溢出流是可以叠加的，用叠加出来的均值方差去找一个近似的泊松流。

通过Wilkinson公式，我们初步建立了原泊松流和溢出呼叫流之间的关系。具体来说是 M与A、E的关系，V与A、E的关系。

在此基础上，作者通过一系列我看不懂的数学近似，得到了一个近似值。

Wilkinson公式

首先，大概是因为会涉及求导，将$M$M记作$F(n)$F(n)：
$F(n)=A(n)\cdot E_n(A)...(11)$F(n)=A(n)⋅En​(A)...(11)
对Wilkinson公式进行变形，得到A对M、V的表达式：
$V=M(1-M+\frac {A}{n+1+M-A})$V=M(1−M+n+1+M−AA​)
$\frac V M +M-1=\frac {A}{n+1+M-A}$MV​+M−1=n+1+M−AA​
$A=(\frac V M +M-1)/(\frac V M +M)\cdot (n+1+M)$A=(MV​+M−1)/(MV​+M)⋅(n+1+M)
为了简化方程的形式，令q：
$q=1-\frac {1}{M+\frac V M}...(13)$q=1−M+MV​1​...(13)
则
$A=q\cdot (n+1+M)...(12)$A=q⋅(n+1+M)...(12)
我们注意到，祖宗泊松流的流量A和线数n本来是没什么关系的，但是现在A是M、V、n的函数了，我数学学的不好不知道怎么说，反正至少从形式上是A(n)。

归纳一下，A是n的函数，E是A和n的函数。为什么要搞这么清楚呢，因为接下来要算全导数。

主要的推导

其实后面我就看不懂了，所以直接截图原文。作者做了一点前置工作，算了一个F(n)的全导数。这个表达式里的偏导项要么可以直接写出，要么有合适的近似表达。

前置工作罗列如下：

然后开始处理全导数，作者在这里说因为上面的一堆式子，可以得出在F(n)=M附近导数是负的。因为这两个值都代表溢出呼叫流的，所以肯定在F(n)=M附近。

然后作者把导数展开，其中$\frac {\partial E}{\partial n}$∂n∂E​用了近似(19)

结论

作者说AE-M非常小，所以把AE换成M。

整理一下，对于导数得出阶段性的结论：

再来明确一下，我们有一个祖宗流是泊松的，一个儿子溢出流是祖宗流的溢出，儿子流又求出了孙子泊松流。

表面上，式子里带着的都是祖宗流和儿子流的参数，和孙子流一分钱关系没有。但实际上求孙子流是去近似祖宗流，所以参数还是A和n。

这里页码是接着的，但是式子的标号接不上，怀疑是排版员眼花吧20看成26了，所以下一个式子是(27)

这里作者说因为导数(17)是负的，所以可以直接计算得到(27)

来看关键词：numeric calculation，数值计算。作者把表格也附上了。我猜测最后应该是把A的表达式带进(27),做了一定的放缩。在一定范围内靠数值计算拟合了函数。
顺便一提，1964年的计算机好像是用打孔卡的。

结语

看完我真的是一头雾水，数学家真的太强了。
相比之下，我觉得我还是去搬砖吧，混个熟练工种。