算法浅谈：图（下）
一： 最小生成树
1. 概念
首先看如下图，不知道大家能总结点什么。
对于一个连通图G，如果其全部顶点和一部分边构成一个子图G1，当G1满足：
① 刚好将图中所有顶点连通。②顶点不存在回路。则称G1就是G的“生成树”。
其实一句话总结就是：生成树是将原图的全部顶点以最小的边连通的子图，这不，如下的连通图可以得到下面的两个生成树。
② 对于一个带权的连通图，当生成的树不同，各边上的权值总和也不同，如果某个生成树的权值最小，则它就是“最小生成树”。
2. 场景
实际应用中“最小生成树”还是蛮有实际价值的，教科书上都有这么一句话，若用图来表示一个交通系统，每一个顶点代表一个城市，
边代表两个城市之间的距离，当有n个城市时，可能会有n(n-1)/2条边，那么怎么选择(n-1)条边来使城市之间的总距离最小，其实它
的抽象模型就是求“最小生成树”的问题。
3. prim算法
当然如何求“最小生成树”问题，前人都已经给我们总结好了，我们只要照葫芦画瓢就是了，
第一步：我们建立集合“V,U"，将图中的所有顶点全部灌到V集合中，U集合初始为空。
第二步： 我们将V1放入U集合中并将V1顶点标记为已访问。此时：U（V1）。
第三步： 我们寻找V1的邻接点（V2,V3,V5)，权值中发现(V1,V2)之间的权值最小，此时我们将V2放入U集合中并标记V2为已访问，
此时为U（V1，V2）。
第四步： 我们找U集合中的V1和V2的邻接边，一阵痉挛后，发现（V1，V5）的权值最小，此时将V5加入到U集合并标记为已访问，此时
U的集合元素为（V1，V2，V5）。
第五步：此时我们以（V1，V2，V5）为基准向四周寻找最小权值的邻接边，发现（V5，V4）的权值最小，此时将V4加入到U集合并标记
为已访问，此时U的集合元素为（V1，V2，V5，V4）。
第六步： 跟第五步形式一样，找到了（V1，V3）的权值最小，将V3加入到U集合中并标记为已访问，最终U的元素为（V1，V2，V5，V4，V3），
最终发现顶点全部被访问，最小生成树就此诞生。
1 #region prim算法获取最小生成树 2 /// <summary> 3 /// prim算法获取最小生成树 4 /// </summary> 5 /// <param name="graph"></param> 6 public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum) 7 { 8 //已访问过的标志 9 int used = 0; 10 11 //非邻接顶点标志 12 int noadj = -1; 13 14 //定义一个输出总权值的变量 15 sum = 0; 16 17 //临时数组，用于保存邻接点的权值 18 int[] weight = new int[graph.vertexNum]; 19 20 //临时数组，用于保存顶点信息 21 int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum]; 22 23 //取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中 24 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) 25 { 26 //保存于邻接点之间的权值 27 weight[i] = graph.edges[0, i]; 28 29 //等于0则说明V1与该邻接点没有边 30 if (weight[i] == short.MaxValue) 31 tempvertex[i] = noadj; 32 else 33 tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]); 34 } 35 36 //从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合 37 var index = tempvertex[0] = used; 38 var min = weight[0] = short.MaxValue; 39 40 //在V的邻接点中找权值最小的节点 41 for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++) 42 { 43 index = i; 44 min = short.MaxValue; 45 46 for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++) 47 { 48 //用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点 49 if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0) 50 { 51 min = weight[j]; 52 index = j; 53 } 54 } 55 //累加权值 56 sum += min; 57 58 Console.Write("({0},{1}) ", tempvertex[index], graph.vertex[index]); 59 60 //将取得的最小节点标识为已访问 61 weight[index] = short.MaxValue; 62 tempvertex[index] = 0; 63 64 //从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值 65 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++) 66 { 67 //已当前节点为出发点，重新选择最小边 68 if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used) 69 { 70 weight[j] = graph.edges[index, j]; 71 72 //这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边 73 tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]); 74 } 75 } 76 } 77 } 78 #endregion
二： 最短路径
1. 概念
求最短路径问题其实也是非常有实用价值的，映射到交通系统图中，就是求两个城市间的最短路径问题，还是看这张图，我们可以很容易的看出比如
V1到图中各顶点的最短路径。
① V1 -> V2 直达， 权为2。
② V1 -> V3 直达 权为3。
③ V1->V5->V4 中转 权为3+2=5。
④ V1 -> V5 直达 权为3。
、
2. Dijkstra算法
我们的学习需要站在巨人的肩膀上，那么对于现实中非常复杂的问题，我们肯定不能用肉眼看出来，而是根据一定的算法推导出来的。
Dijkstra思想遵循 “走一步，看一步”的原则。
第一步： 我们需要一个集合U，然后将V1放入U集合中，既然走了一步，我们就要看一步，就是比较一下V1的邻接点（V2，V3，V5），
发现（V1，V2）的权值最小，此时我们将V2放入U集合中，表示我们已经找到了V1到V2的最短路径。
第二步：然后将V2做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现只有V4可以连通，此时修改V4的权值为（V1，V2)+(V2，V4)=6。
此时我们就要看一步，发现V1到（V3，V4，V5）中权值最小的是（V1，V5），此时将V5放入U集合中，表示我们已经找到了
V1到V5的最短路径。
第三步：然后将V5做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现能连通的有V3，V4，当我们正想修该V3的权值时发现（V1，V3）的权值
小于（V1->V5->V3),此时我们就不修改，将V3放入U集合中，最后我们找到了V1到V3的最短路径。
第四步：因为V5还没有走完，所以继续用V5做中间点，此时只能连通(V5,V4),当要修改权值的时候，发现原来的V4权值为(V1,V2)+(V2,V4),而
现在的权值为5，小于先前的6，此时更改原先的权值变为5，将V4放入集合中，最后我们找到了V1到V4的最短路径。
1 #region dijkstra求出最短路径 2 /// <summary> 3 /// dijkstra求出最短路径 4 /// </summary> 5 /// <param name="g"></param> 6 public void Dijkstra(MatrixGraph g) 7 { 8 int[] weight = new int[g.vertexNum]; 9 10 int[] path = new int[g.vertexNum]; 11 12 int[] tempvertex = new int[g.vertexNum]; 13 14 Console.WriteLine("\n请输入源点的编号："); 15 16 //让用户输入要遍历的起始点 17 int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1; 18 19 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) 20 { 21 //初始赋权值 22 weight[i] = g.edges[vertex, i]; 23 24 if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0) 25 path[i] = vertex; 26 27 tempvertex[i] = 0; 28 } 29 30 tempvertex[vertex] = 1; 31 weight[vertex] = 0; 32 33 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) 34 { 35 int min = short.MaxValue; 36 37 int index = vertex; 38 39 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) 40 { 41 //顶点的权值中找出最小的 42 if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min) 43 { 44 min = weight[j]; 45 index = j; 46 } 47 } 48 49 tempvertex[index] = 1; 50 51 //以当前的index作为中间点，找出最小的权值 52 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++) 53 { 54 if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j]) 55 { 56 weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j]; 57 path[j] = index; 58 } 59 } 60 } 61 62 Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]); 63 64 //最后输出 65 for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++) 66 { 67 if (tempvertex[i] == 1) 68 { 69 var index = i; 70 71 while (index != vertex) 72 { 73 var j = index; 74 Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]); 75 index = path[index]; 76 } 77 Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]); 78 } 79 else 80 { 81 Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]); 82 } 83 } 84 } 85 #endregion
最后上一下总的运行代码
算法速成系列至此就全部结束了，公司给我们的算法培训也于上周五结束，呵呵，赶一下同步。最后希望大家能对算法重视起来，
学好算法，终身收益。