阵列信号模型

被阵列信号模型中的矩阵搞得晕头转向，矩阵中又嵌套向量，记录一下
常见的阵列模型如下：

• $X$X为全部阵元总的输出，$X = [X_1(t),X_2(t),\cdots,X_M(t)]^T$X=[X1​(t),X2​(t),⋯,XM​(t)]T
• $N(t)$N(t)为噪声，$N(t) = [n_1(t),n_2(t),\cdots,n_M(t)]^T$N(t)=[n1​(t),n2​(t),⋯,nM​(t)]T
• $A$A为阵列导向向量构成的矩阵，$A = [A(\theta_1),A(\theta_2),\cdots,A(\theta_k)]$A=[A(θ1​),A(θ2​),⋯,A(θk​)]
  • $A(\theta_i) = [1,e^{-j\frac{2\pi d}{\lambda}sin\theta_i},\cdots,e^{-j\frac{2\pi (M-1)d}{\lambda}sin\theta_i}]^T$A(θi​)=[1,e−jλ2πd​sinθi​,⋯,e−jλ2π(M−1)d​sinθi​]T
• $S(t)$S(t)为入射信号，$S(t) = [ S_1(t),S_2(t),\cdots,S_k(t)]^T$S(t)=[S1​(t),S2​(t),⋯,Sk​(t)]T
  • $S_i(t)=[S_{i1},S_{i2},\cdots,S_{im}]^T$Si​(t)=[Si1​,Si2​,⋯,Sim​]T$X = \underbrace{\underbrace{A}_{M\times k}\underbrace{S(t)}_{k\times m} + \underbrace{N(t)}_{M\times m}}_{M\times m} = \underbrace{\sum_{i=1}^{k}\underbrace{A(\theta_i)}_{M\times 1}\cdot \underbrace{S_i^T(t)}_{1\times m} + \underbrace{N(t)}_{M\times m}}_{M\times m}$X=M×mM×kA​​k×mS(t)​​+M×mN(t)​​​​=M×mi=1∑k​M×1A(θi​)​​⋅1×mSiT​(t)​​+M×mN(t)​​​​
• 阵列导向矩阵$A$A大小为$M\times k$M×k，其中$M$M表示阵元的个数(通道的个数)，$k$k表示目标的数目(信源的数目)，$A(\theta_i)$A(θi​)大小为$M\times 1$M×1，表示同一个信源在$M$M个不同阵元(通道)下的相移
• 入射信号矩阵$S(t)$S(t)大小为$k\times m$k×m，$k$k表示目标的数目(信源的数目)，$m$m表示$m$m次采样，即快拍数为$m$m，$S_i^T(t)$SiT​(t)大小为$1\times m$1×m，表示对同一个信源采样$m$m次
• $N(t)$N(t)为噪声矩阵，大小为$M\times m$M×m，表示$M$M个阵元(通道)在$m$m次采样情况下形成的噪声矩阵