第 2 章 三角学回顾

学习微积分必须要了解三角学。

• 用弧度度量的角与三角函数的基本知识；
• 实轴上的三角函数（不只是介于0⁰和90⁰;
• 三角函数的图像；
• 三角恒等式。

2.1 基本知识

首先要回忆的是弧度的概念。旋转一周，我们说成2$\pi$π弧度而不是360⁰。半径为1个单位的圆的周长是2$\pi$π个单位，这个圆的一个扇形的弧长就是这个扇形的圆心角的弧度。

$用弧度度量的角=\frac{\pi}{180} \times 用度度量的角$用弧度度量的角=180π​×用度度量的角
由三角形定义的三角函数（正弦、余弦、正切、正割sec ['sekEnd]、余割csc ['kau’si:kEnt]、余切）：
$sin(\theta) = \frac{对边}{斜边} \qquad\quad cos(\theta) = \frac{邻边}{斜边} \qquad\quad tan(\theta) = \frac{对边}{邻边}$sin(θ)=斜边对边​cos(θ)=斜边邻边​tan(θ)=邻边对边​

$csc(x) = \frac{1}{sin(x)} \qquad sec(x) = \frac{1}{cos(x)} \qquad cot(x) = \frac{1}{tan(x)}$csc(x)=sin(x)1​sec(x)=cos(x)1​cot(x)=tan(x)1​

	0	$\frac{\pi}{6}$6π​	$\frac{\pi}{4}$4π​	$\frac{\pi}{3}$3π​	$\frac{\pi}{2}$2π​
sin	0	$\frac{1}{2}$21​	$\frac{1}{\sqrt{2}}$2​1​	$\frac{\sqrt{3}}{2}$23​​	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$23​​	$\frac{1}{\sqrt{2}}$2​1​	$\frac{1}{2}$21​	0
tan	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$3​1​	1	$\sqrt{3}$3​	*

2.2 扩展三角函数定义域

任意角三角函数定义：
$sin(\theta) = \frac{y}{r} \qquad\quad cos(\theta) = \frac{x}{r} \qquad\quad tan(\theta) = \frac{y}{x}$sin(θ)=ry​cos(θ)=rx​tan(θ)=xy​

参考角：表示角$\theta$θ的射线和x轴之间的最小的角。

2.2.1 ASTC方法

1. 画出象限图，确定在该图中你感兴趣的角在哪里,然后，在图表中标出该角。

2. 如果你想要的角在x轴或y轴上(即没有在任何象限中), 那么,就画出三角函数的图像，从图像中读取数值(2.3节有一些例子)。

3. 否则，找出在代表我们想要的那个角的射线和x轴间最小的角，这个角被称为参考角。

4. 如果可以，使用那张重要的表来求出参考角的三角函数的值。那就是你需要的答案，除了你可能还需要在得到的值前面添一个负号。

5. 使用ASTC图表来决定你是否需要添一个负号。

2.2.2 [0, 2$\pi$π] 以外的三角函数

[0, 2π]以外的三角函数可以简单地加上或减去2π的倍数，直到得到的角在0和2π之间。

2.3 三角函数的图像

sin(x)、tan(x)、cot(x)，及csc(x)都是x的奇函数。cos(x)和sec(x)都是x的偶函数。

2.4 三角恒等式

正切和余切可以由正弦和余弦来表示：
$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}, \qquad cot(x) = \frac{cos(x)}{sin(x）}$tan(x)=cos(x)sin(x)​,cot(x)=sin(x）cos(x)​

用三角函数表示的毕达哥拉斯定理：
$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$cos2(x)+sin2(x)=1
为什么这是毕达哥拉斯定理呢？如果直角三角形的斜边是1，其中一个角为x，自己验证三角形的其它两条边长就是cos(x)和sin(x)。

毕达哥拉斯定理等式两边同除以cos²(x)，能得到：
$1 + tan^2(x) = sec^2(x)$1+tan2(x)=sec2(x)

毕达哥拉斯定理等式两边同除以sin²(x)，能得到：（这个公式没有其它公式出现的那么频繁）
$cot^2(x) + 1 = csc^2(x)$cot2(x)+1=csc2(x)

三角函数中的互余关系：
$三角函数(x) = co三角函数(\frac{\pi}{2})$三角函数(x)=co三角函数(2π​)
特别地，有：
$sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x),\qquad tan(x) = cot(\frac{\pi}{2} - x), \qquad sec = csc(\frac{\pi}{2} - x)$sin(x)=cos(2π​−x),tan(x)=cot(2π​−x),sec=csc(2π​−x)
$cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x),\qquad cot(x) = tan(\frac{\pi}{2} - x), \qquad csc = sec(\frac{\pi}{2} - x)$cos(x)=sin(2π​−x),cot(x)=tan(2π​−x),csc=sec(2π​−x)

最后，还有一组恒等式值得我们学习。这些恒等式涉及角的和与倍角公式。特别地，我们应该记住下列公式：
$sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)$sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)
$cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)$cos(A+B)=cos(A)cos(B)−sin(A)sin(B)
还应该记住，你可以切换所有的正号和负号，得到一些相关的公式：
$sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)$sin(A−B)=sin(A)cos(B)−cos(A)sin(B)
$cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)$cos(A−B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)
令A = B = x ，结合毕达哥拉斯定理可得倍角公式：
$sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$sin(2x)=2sin(x)cos(x)
$cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 = 1- sin^2(x)$cos(2x)=2cos2(x)−1=1−sin2(x)