概率论与数理统计基础（二）:常用离散分布 二项、泊松、超几何分、几何、 负二项分布
本文列举了常见的离散分布，关于它们的背景、概率分布列、数学期望与方差，以及与之相关的一些重要性质；比如几何分布的无记忆性、 二项分布的泊松近似、超几何分布的二项近似。。。。可作为离散分布的知识速查表。
目录
1. 二项分布b(n,p)
- 背景：在n重伯努利实验中成功的次数服从二项分布b(n,p),其中p为一次伯努利实验中成功发生的概率，
.
- 概率分布列：
- n=1 时，二项分布退化为二点分布【0-1分布】
- 二项分布b(n,p) 的数学期望为
, 方差为
- 若
,则
, 其中
是在n重伯努利实验中失败的次数
2. 泊松分布 
- 背景：单位时间【或单位面积、单位产品等】上稀有事件【不经常发生的事件】发生的次数
- 概率分布列：
-
- 二项分布的泊松近似（泊松定理）
在n重伯努利实验中，记事件A在一次伯努利实验中发生的概率为（与试验次数n有关）,如果当
时，有
, 则
3 超几何分布 
- 背景：从含有M个不合格产品的N个产品中，不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品的个数服从超几何分布。
- 概率分布列:
,其中
且
均为正整数
- 期望与方差：
-
超几何分布的二项近似：当
, 超几何分布
近似，即
, 其中
.
- 实际应用：当批量N较大、而抽出样品数n较小时，不返回抽样可看作返回抽样的近似。
4 几何分布 
- 背景：在伯努利试验序列中，成功事件A首次出现时的试验次数, p为每次试验中事件A发生的概率
- 概率分布列：
- 期望与方差:
- 几何分布的无记忆性
若 ,则对任意正整数m与n有:
5 负二项分布 / 巴斯卡分布 
- 背景：在伯努利试验序列中,成功事件A第r次出现时的试验次数,
- 概率分布列：
- 期望与方差:
-
几何分布与负二项分布的关系: r=1时的负二项分布为几何分布，即
负二项分布的随机变量可以表示为r个独立同分布的几何分布随机变量之和，即
若 ,则
6 常用离散分布表
参考资料：