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【第二章 微积分】2.2泰勒公式函数极值定积分
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任务详解：

这节课主要介绍了泰勒公式，函数的凹凸性，函数的极值，不定积分，定积分等知识点。
掌握目标：
1、了解泰勒公式
2、了解函数的凹凸性
3、掌握函数的极值，以及极值的充要条件
4、掌握不定积分，定积分的计算，第一第二类换元，分部积分法，牛顿莱布尼茨公式

1.泰勒公式

泰勒（Taylor）中值定理1：如果函数$f(x)$f(x)在$x_0$x0​处具有n阶导数，那么存在$x_0$x0​的一个邻域，对于该邻域内的任一$x$x，有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x)
其中：
$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$Rn​(x)=o((x−x0​)n)
说人话：这个定理就是任意一个函数$f(x)$f(x)，都可以在$x_0$x0​展开，写成一个多项式的模式，最后一项就是误差$R_n(x)$Rn​(x)，是x到$x_0$x0​的高阶无穷小（佩亚诺余项）。
泰勒（Taylor）中值定理2：如果函数$f(x)$f(x)在$x_0$x0​的某个邻域$U(x_0)$U(x0​)内具有(n+1)阶导数，那么对任一$x\in U(x_0)$x∈U(x0​)，有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x)
其中：
$R_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$Rn​(x)=(n+1)!fn+1(ξ)​(x−x0​)n+1
$\xi$ξ是$x_0$x0​与$x$x之间的某个值，这项也叫：拉格朗日余项
当×0=0时，称为麦克劳林展开
例子（略）

2.函数的凹凸性

定义：设$f(x)$f(x)在区间$I$I上连续，如果对$I$I上任意两点$x_1,x_2$x1​,x2​恒有
$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$f(2x1​+x2​​)<2f(x1​)+f(x2​)​
那么称$f(x)$f(x)在$I$I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$f(2x1​+x2​​)>2f(x1​)+f(x2​)​
那么称$f(x)$f(x)在$I$I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.
如果函数$f(x)$f(x)在$I$I内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理：
定理2：设$f(x)$f(x)在[a，b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在(a,b)内$f^n(x)>0$fn(x)>0，则$f(x)$f(x)在[a,b]上的图形是凹的；
（2）若在(a,b)内$f^n(x)<0$fn(x)<0，则$f(x)$f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
证明：
设$x_1$x1​和$x_2$x2​为[a,b]类任意两点，且$x_1<x_2$x1​<x2​，记$\frac{x_1+x_2}{2}=x_0$2x1​+x2​​=x0​，并记$x_2-x_0=x_0-x_1=h$x2​−x0​=x0​−x1​=h，则$x_1=x_0-h$x1​=x0​−h，$x_2=x_0+h$x2​=x0​+h

由拉格朗日中值公式可得：
$f(x_0+h)-f(x_0)=f'(\xi_1)(x_0+h-x_0)=f'(x_0+\theta_1h)h,0<\theta_1<1\tag{1}$f(x0​+h)−f(x0​)=f′(ξ1​)(x0​+h−x0​)=f′(x0​+θ1​h)h,0<θ1​<1(1)
$f(x_0)-f(x_0-h)=f'(\xi_2)(x_0-x_0+h)=f'(x_0-\theta_2h)h,0<\theta_2<1\tag{2}$f(x0​)−f(x0​−h)=f′(ξ2​)(x0​−x0​+h)=f′(x0​−θ2​h)h,0<θ2​<1(2)
上面由于$\xi_1$ξ1​是在$x_0$x0​到$x_0+h$x0​+h之间的，所以可以写成最后那个样子$(\xi_1=x_0+\theta_1h$(ξ1​=x0​+θ1​h是等价的，$\xi_2$ξ2​同理。
等式（1）减（2）得：
$f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)=[f'(x_0+\theta_1h)-f'(x_0-\theta_2h)]h\tag{3}$f(x0​+h)+f(x0​−h)−2f(x0​)=[f′(x0​+θ1​h)−f′(x0​−θ2​h)]h(3)
对等式（3）中的$f'(x_0+\theta_1h)-f'(x_0-\theta_2h)$f′(x0​+θ1​h)−f′(x0​−θ2​h)再来一次拉格朗
日
中值公式：
$f'(x_0+\theta_1h)-f'(x_0+\theta_2h)=f''(\xi_3)(x_0+\theta_1h-x_0+\theta_2h)$f′(x0​+θ1​h)−f′(x0​+θ2​h)=f′′(ξ3​)(x0​+θ1​h−x0​+θ2​h)$=f''(\xi_3)(\theta_1+\theta_2)h\tag{4}$=f′′(ξ3​)(θ1​+θ2​)h(4)
将（4）带入（3）：
$f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)=f''(\xi_3)(\theta_1+\theta_2)h^2\tag{5}$f(x0​+h)+f(x0​−h)−2f(x0​)=f′′(ξ3​)(θ1​+θ2​)h2(5)
对于定理的第一种情况
（1）若在(a,b)内$f^n(x)>0$fn(x)>0，则$f(x)$f(x)在[a,b]上的图形是凹的；
我们可以由$f''(\xi_3)>0，(\theta_1+\theta_2)>0,h^2>0$f′′(ξ3​)>0，(θ1​+θ2​)>0,h2>0，对公式(5)判断：整体大于0，即：
$f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)>0$f(x0​+h)+f(x0​−h)−2f(x0​)>0
把$x_1=x_0-h$x1​=x0​−h，$x_2=x_0+h$x2​=x0​+h，$\frac{x_1+x_2}{2}=x_0$2x1​+x2​​=x0​带回去
$f(x_2)+f(x_1)>2f(\frac{x_1+x_2}{2})$f(x2​)+f(x1​)>2f(2x1​+x2​​)
证明完毕
$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$f(2x1​+x2​​)<2f(x1​)+f(x2​)​
情况二类似。

3.函数的极值

定义设函数$f(x)$f(x)在点$x_0$x0​的某邻域$U(x_0)$U(x0​)内有定义，如果对于去心邻域$\overset{o}{U}(x_0)$Uo(x0​)内的任一x，有
$f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0))$f(x)<f(x0​)(或f(x)>f(x0​))
说人话：就是$x_0$x0​比附近所有的x的值都大（小）。
那么就称$f(x_0)$f(x0​)是函数$f(x)$f(x)的一个极大值（或极小值）.

定理1（必要条件）：设函数$f(x)$f(x)在$x_0$x0​处可导，且在$x_0$x0​处取得极值，则$f'(x)=0$f′(x)=0

定理2（第一充分条件）：设函数$f(x)$f(x)在$x_0$x0​处连续，且在$x_0$x0​的某去心邻域$\overset{o}{U}(x_0,\delta)$Uo(x0​,δ)内可导.
（1）若$x\in (x_0-\delta,x_0)$x∈(x0​−δ,x0​)时，$f'(x)>0$f′(x)>0，而$x\in (x_0,x_0+\delta)$x∈(x0​,x0​+δ)时，$f'(x)<0$f′(x)<0，则$f(x)$f(x)在$x_0$x0​处取得极大值；
说人话：在x的左边导数大于0（函数递增），右边导数小于0（函数递减）.
（2）若$x\in (x_0-\delta,x_0)$x∈(x0​−δ,x0​)时，$f'(x)<0$f′(x)<0，而$x\in (x_0,x_0+\delta)$x∈(x0​,x0​+δ)时，$f'(x)>0$f′(x)>0，则$f(x)$f(x)在$x_0$x0​处取得极小值；
（3）若$x\in \overset{o}{U}(x_0,\delta)$x∈Uo(x0​,δ)时，$f'(x)$f′(x)的符号保持不变，则$f(x)$f(x)在$x_0$x0​处没有极值。

定理3（第二充分条件）：设函数$f(x)$f(x)在$x_0$x0​处具有二阶导数且$f'(x_0)=0$f′(x0​)=0，
$f''(x_0)\neq0$f′′(x0​)​=0，则
（1）当$f''(x_0)<0$f′′(x0​)<0时，函数$f(x)$f(x)在$x_0$x0​处取得极大值；
（2）当$f''(x_0)>0$f′′(x0​)>0时，函数$f(x)$f(x)在$x_0$x0​处取得极小值.
这个定理3是根据函数的凹凸性来进行判断了，也可以用泰勒展开式来进行判断。

4.不定积分（求原函数）

定义1：如果在区间$I$I上，可导函数$F(x)$F(x)的导函数为$f(x)$f(x)，即对任一$x\in I$x∈I，都有
$F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx$F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F（x）就称为$f(x)（或f(x)dx）$f(x)（或f(x)dx）在区间$I$I上的一个原函数
定义2：在区间$I$I上，函数$f(x)$f(x)的带有任意常数项的原函数称为$f(x)$f(x)（或$f(x)dx$f(x)dx）在区间$I$I上的不定积分，记作
$\int f(x)dx$∫f(x)dx
其中记号$\int$∫称为积分号，$f(x)$f(x)称为被积函数，$f(x)dx$f(x)dx称为被积表达式，$x$x称为积分变量。
由此定义及前面的说明可知，如果$F(x)$F(x)是$f(x)$f(x)在区间$I$I上的一个原函数，那么$F(x)+C$F(x)+C就是$f(x)$f(x)的不定积分，即
$\int f(x)dx=F(x)+C$∫f(x)dx=F(x)+C
性质1：设函数$f(x)$f(x)及$g(x)$g(x)的原函数存在，则：
$\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
性质2：设函数$f(x)$f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

第一类换元法（凑微分）

定理1:设$f(u)$f(u)具有原函数，$u=\varphi(x)$u=φ(x)可导，则有换元公式
$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=\left [\int f(u)du\right]_{u=\varphi(x)}$∫f[φ(x)]φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)​
例子：求$\int 2cos2xdx$∫2cos2xdx
$\int 2cos2xdx=\int cos2xd2x$∫2cos2xdx=∫cos2xd2x
令$u=2x$u=2x
$\int cos2xd2x=\int cosudu=sinu+C$∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C
带回$u=2x$u=2x
$\int 2cos2xdx=sin2x+C$∫2cos2xdx=sin2x+C

第二类换元法

定理2：设$x=\psi(t)$x=ψ(t)是单调的可导函数，并且$\psi'(t)\neq0.$ψ′(t)​=0.又设$f[\psi(t)]\psi'(t)$f[ψ(t)]ψ′(t)具有原函数，则有换元公式
$\int f(x)dx=\left [\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt\right]_{t=φ^{-1}(x)}$∫f(x)dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt]t=φ−1(x)​
其中$φ^{-1}(x)$φ−1(x)是$x=\psi(t)$x=ψ(t)的反函数.

分部积分法

$\int udv=uv-\int vdu$∫udv=uv−∫vdu
例子：求$\int xcosxdx$∫xcosxdx
$\int xcosxdx=\int x dsinx=xsinx-\int sinxdx=xsinx+cosx+C$∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C

5.定积分

定积分的意义：曲线的面积

在区间[a,b]中任意插入若干个分点
$a=x_0<x_1<x_2<……<x_{n-1}<x_n=b$a=x0​<x1​<x2​<……<xn−1​<xn​=b
把[a,b]分成n个小区间
$[x_0,x_1],[x_1,x_2],…,[x_{n-1},x_n]$[x0​,x1​],[x1​,x2​],…,[xn−1​,xn​]
它们的长度依次为
$\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,...,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}$Δx1​=x1​−x0​,Δx2​=x2​−x1​,...,Δxn​=xn​−xn−1​
面积A为：
$A\approx f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+...+f(\xi_n)\Delta x_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$A≈f(ξ1​)Δx1​+f(ξ2​)Δx2​+...+f(ξn​)Δxn​=i=1∑n​f(ξi​)Δxi​
其中$\xi_i$ξi​是在$x_{i-1}\sim x_i$xi−1​∼xi​区间的任意一个值。
为了保证所有小区间的长度都无限缩小，我们要求小区间长度中的最大者趋于零，如记$\lambda=max|\Delta x_1, \Delta x_2,…,\Delta x_n|$λ=max∣Δx1​,Δx2​,…,Δxn​∣，则上述条件可表示为$\lambda \to0$λ→0.当$\lambda \to0$λ→0时（这时分段数n无限增多，即$n\to \infty$n→∞），取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积
$A=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$A=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​
$\int_a^bf(x)dx=I= \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$∫ab​f(x)dx=I=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​

牛顿莱布尼茨公式

定理3（微积分基本定理）如果函数$F(x)$F(x)是连续函数$f(x)$f(x)在区间[a,b]
上的一个原函数，那么
$\int_a^bf(x)dx=F(b)-f(a)$∫ab​f(x)dx=F(b)−f(a)

换元法

分部积分

例子：
$\int_0^1xe^{-x}dx=\int_0^1-xde^{-x}=\left[-xe^{-x}\right]_0^1-\int_0^1e^{-x}d{-x}$∫01​xe−xdx=∫01​−xde−x=[−xe−x]01​−∫01​e−xd−x
$=(-1e^{-1})-\int_1^0e^udu=-e^{-1}-[e^u]_1^0=e^{-1}-1+e$=(−1e−1)−∫10​eudu=−e−1−[eu]10​=e−1−1+e