傅里叶变换的三个实例：矩形函数、三角函数与高斯函数 [学习笔记]

矩形函数：

Π (t) = {\begin{cases} 1, | t | < \frac{1}{2} \\ 0, | t | \geq \frac{1}{2} \end{cases}

对其进行傅里叶变换，我们有（需要运用欧拉公式的变形公式，详见傅里叶级数推导过程(2)、(3)式）：

\begin{aligned} F Π (s) & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 π i s t} Π (t) d t \\ = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{- 2 π i s t} d t \\ = {- \frac{1}{2 π i s} e^{- 2 π i s t} |}_{t = - \frac{1}{2}}^{t = \frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{π s} \frac{(e^{π i s} - e^{- π i s})}{2 i} \\ = \frac{\sin (π s)}{π s} \end{aligned}

我们定义 $s i n c (x) = \frac{\sin (π x)}{π x}$ ，我们称其为归一化 $s i n c$ 函数，在数字信号处理中常用；
而对于 $s i n c (x) = \frac{\sin (x)}{x}$ ，我们称其为未归一化的 $s i n c$ 函数，在数学中常用。
二者的图像如下：

故

$F Π = s i n c$

观察推导过程，不难发现对于傅里叶逆变换，我们可以得到相同的结果，即

$F^{- 1} Π = s i n c$

更一般地，设

Π_{p} (t) = {\begin{cases} 1, | t | < \frac{p}{2} \\ 0, | t | \geq \frac{p}{2} \end{cases}

则有（证明类似，略）：

$F Π_{p} (s) = \frac{\sin (π p s)}{π s} = p \cdot s i n c (p s)$

$F^{- 1} Π_{p} (t) = \frac{\sin (π p t)}{π t} = p \cdot s i n c (p t)$

三角函数

Λ (t) = {\begin{cases} 1 - | t | & , | t | \leq 1 \\ 0 & , | t | > 1 \end{cases}

对其进行傅里叶变换，我们有（需要运用分部积分法，详见微积分相关内容）：

\begin{aligned} F Λ (s) & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 π i s t} Λ (t) d t \\ = \int_{- 1}^{0} e^{- 2 π i s t} (1 + t) d t + \int_{0}^{1} e^{- 2 π i s t} (1 - t) d t \\ = \int_{- 1}^{0} (1 + t) d (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) + \int_{0}^{1} (1 - t) d (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) \\ = {(1 + t) (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) |}_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) d (1 + t) + {(1 - t) (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) |}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) d (1 - t) \\ = {(1 + t) (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) |}_{- 1}^{0} - \int_{0}^{1} (\frac{e^{- 2 π i s (k - 1)}}{- 2 π i s}) d k + {(1 - t) (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) |}_{0}^{1} - \int_{1}^{0} (\frac{e^{- 2 π i s (1 - k)}}{- 2 π i s}) d k \\ = {(1 + t) (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) |}_{- 1}^{0} - {(\frac{e^{2 π i s}}{- 2 π i s} \frac{e^{- 2 π i s k}}{- 2 π i s}) |}_{0}^{1} + {(1 - t) (\frac{e^{- 2 π i s t}}{- 2 π i s}) |}_{0}^{1} - {(\frac{e^{- 2 π i s}}{- 2 π i s} \frac{e^{2 π i s k}}{2 π i s}) |}_{1}^{0} \\ = \frac{2 - e^{2 π i s} - e^{- 2 π i s}}{4 π^{2} s^{2}} \end{aligned}

利用欧拉公式，我们有：

\begin{aligned} F Λ (s) & = \frac{2 - (\cos 2 π s + i \sin 2 π s) - (\cos 2 π s - i \sin 2 π s)}{4 π^{2} s^{2}} \\ = \frac{2 - 2 \cos 2 π s}{4 π^{2} s^{2}} \\ = \frac{2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} π s)}{4 π^{2} s^{2}} \\ = \frac{\sin^{2} π s}{π^{2} s^{2}} \\ = s i n c^{2} (s) \end{aligned}

即

$F Λ = s i n c^{2}$

最后我们来看高斯函数的傅里叶变换

高斯分布（又称正太分布）公式如下：

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}

即 $X$ ~ $N (μ, σ^{2})$
我们令 $μ = 0$ ， $σ^{2} = \frac{1}{2 π}$ ，用 $t$ 代替 $x$ 成为自变量，则有以下高斯函数特例：

\begin{matrix} (1) & f (t) = e^{- π t^{2}} \end{matrix}

对 $(1)$ 式进行傅里叶变换，为了方便，我们将 $F f$ 写作 $F$ ，则有

\begin{matrix} (2) & F (s) = F f (s) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 2 π i s t} f (t) d t \end{matrix}

两边同时对 $s$ 求导，

\begin{aligned} F^{'} (s) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{d}{d s} (e^{- 2 π i s t}) e^{- π t^{2}} d t \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} (- 2 π i t) e^{- 2 π i s t} e^{- π t^{2}} d t \\ = i \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 2 π i s t} d (e^{- π t^{2}}) \\ (3) & = i {e^{- 2 π i s t} e^{- π t^{2}} |}_{t = - \infty}^{t = + \infty} - i \int_{- \infty}^{\infty} e^{- π t^{2}} d (e^{- 2 π i s t}) \end{aligned}

对于 $(2)$ 式，我们将等式右边拆分成两个部分进行计算
对于第一部分，我们不难发现， $i e^{- 2 π i s t} = i \cos (2 π s t) + \sin (π s t)$ ，由于 $\sin x$ 、 $\cos x$ 是有限的，即取值范围都在 $[- 1, 1]$ ，因此， $i e^{- 2 π i s t}$ 的取值也是有限的，即在复平面内模长为1的圆上取值；而当 $t \to \infty$ 时 $e^{- π t^{2}} \to 0$ 。一个有限的数与零相乘，其结果为0，故

\begin{matrix} (4) & i {e^{- 2 π i s t} e^{- π t^{2}} |}_{t = - \infty}^{t = + \infty} = 0 \end{matrix}

第二部分：

\begin{aligned} i \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- π t^{2}} d (e^{- 2 π i s t}) & = i \int_{- \infty}^{+ \infty} - 2 π i s e^{- 2 π i s t} e^{- π t^{2}} d t \\ = 2 π s \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 2 π i s t} e^{- π t^{2}} d t \\ (5) & = 2 π s F (s) \end{aligned}

由 $(3)$ 、 $(4)$ 、 $(5)$ 式，我们可以得到：

F^{'} (s) = 0 - 2 π s F (s) = - 2 π s F (s)

运用分离变量法解该常微分方程，我们可以得到：

\begin{matrix} (6) & F (s) = F (0) e^{- π s^{2}} \end{matrix}

根据 $(2)$ 式，我们可以得到：

\begin{matrix} (7) & F (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- 2 π i 0 t} f (t) d t = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- π t^{2}} d t \end{matrix}

下面我们先来计算定积分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- π t^{2}} d t$
令 $g (x) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- π x^{2}} d x$ ，则

\begin{aligned} g^{2} (x) & = (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- π x^{2}} d x)^{2} \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- π x^{2}} d x \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- π y^{2}} d y \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- π x^{2}} e^{- π y^{2}} d x d y \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- π (x^{2} + y^{2})} d x d y \end{aligned}

我们对 $x$ 、 $y$ 进行极坐标变换，可得：

\begin{aligned} g^{2} (x) & = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{+ \infty} e^{- π ρ^{2}} ρ d ρ d θ \\ = \int_{0}^{+ \infty} 2 π e^{- π ρ^{2}} ρ d ρ \\ = π \int_{0}^{+ \infty} e^{- π ρ^{2}} d (ρ^{2}) \\ = π ({\frac{1}{- π} e^{- π ρ^{2}} |}_{0}^{+ \infty}) \\ = - (0 - 1) \\ (8) & = 1 \end{aligned}

由 $(6)$ 、 $(7)$ 、 $(8)$ 式，我们有

\begin{matrix} (9) & F (s) = F f (s) = e^{- π s^{2}} \end{matrix}

这个结果表示

高斯函数 $f (t) = e^{- π t^{2}}$ 的傅里叶变换结果为 $F f (s) = e^{- π s^{2}}$ ，该图像与原图像形状是一样的

（本文图片部分来源于wikipedia）

傅里叶变换的三个实例：矩形函数、三角函数与高斯函数 [学习笔记]

FΠ=sincFΠ=sinc

F−1Π=sincF−1Π=sinc

FΠp(s)=sin(πps)πs=p⋅sinc(ps)FΠp(s)=sin⁡(πps)πs=p⋅sinc(ps)

F−1Πp(t)=sin(πpt)πt=p⋅sinc(pt)F−1Πp(t)=sin⁡(πpt)πt=p⋅sinc(pt)

FΛ=sinc2FΛ=sinc2

高斯函数f(t)=e−πt2f(t)=e−πt2的傅里叶变换结果为Ff(s)=e−πs2Ff(s)=e−πs2，该图像与原图像形状是一样的