习题六

6.10

（1）设$X$X为随机变量，$P\{|X-E(X)|<\epsilon\}\geqslant0.9,D(X)=0.009$P{∣X−E(X)∣<ϵ}⩾0.9,D(X)=0.009，试用切比雪夫不等式估计$\epsilon$ϵ的取值；

解  应用切比雪夫不等式$P\{|X-E(X)|<\epsilon\}\geqslant1-\cfrac{D(X)}{\epsilon^2}$P{∣X−E(X)∣<ϵ}⩾1−ϵ2D(X)​求解。由题设得
$P\{|X-E(X)|<\epsilon\}\geqslant1-\cfrac{0.009}{\epsilon^2}\geqslant0.9,\quad\epsilon^2\geqslant0.09,\quad\epsilon\geqslant0.3.$P{∣X−E(X)∣<ϵ}⩾1−ϵ20.009​⩾0.9,ϵ2⩾0.09,ϵ⩾0.3.

（2）假设每次试验事件$A$A发生的概率都是$p(0<p<1)$p(0<p<1)，现进行$1000$1000次独立重复实验，用事件$A$A发生的频率估计概率$p$p。试用切比雪夫不等式求这种估计所产生的误差小于$10\%$10%的概率。

解  假设$1000$1000次试验中$A$A发生的次数为$X$X，则$X\sim B(1000,p)$X∼B(1000,p)，其中$p$p未知，
$E(X)=1000p,\quad D(X)=1000p(1-p).$E(X)=1000p,D(X)=1000p(1−p).
  依题意要用切比雪夫不等式估算，
$\begin{aligned} P\left\{\left|\cfrac{X}{1000}-p\right|<0.1\right\}&=P\{|X-1000p|<100\}=P\{|X-E(X)|<100\}\\ &\geqslant1-\cfrac{D(X)}{100^2}=1-0.1p(1-p)=0.1p^2-0.1p+1\\ &=0.1(p^2-p+10). \end{aligned}$P{∣∣∣∣∣​1000X​−p∣∣∣∣∣​<0.1}​=P{∣X−1000p∣<100}=P{∣X−E(X)∣<100}⩾1−1002D(X)​=1−0.1p(1−p)=0.1p2−0.1p+1=0.1(p2−p+10).​
  因为$p$p未知，取二次函数$y=p^2-p+10,y'=2p-1$y=p2−p+10,y′=2p−1，当$p=0.5$p=0.5时取最小值$0.5^2-0.5+10=9.75$0.52−0.5+10=9.75，所以
$P\left\{\left|\cfrac{X}{1000}-p\right|<10\%\right\}\geqslant0.1(p^2-p+10)\geqslant0.975.$P{∣∣∣∣∣​1000X​−p∣∣∣∣∣​<10%}⩾0.1(p2−p+10)⩾0.975.
（这道题主要利用了切比雪夫不等式求解）

新版例题六

例6.7

例6.15

新版习题六

6.12

6.21

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