介绍

  先介绍二维旋转变换，然后得到三维绕坐标轴旋转，再推广得到绕三维任意轴旋转的罗德里格斯旋转公式。

1.二维旋转变换

  如果要求$P$P逆时针旋转$\theta$θ得到的$P^{'}$P′，记$Q$Q为$P$P逆时针旋转90°后的向量,即$(-P_y,P_x)$(−Py​,Px​),则$P$P与$Q$Q正好组成了该平面内的一组正交向量，任何向量都可由其线性表出，由基本几何和三角学可得到：
$P^{'}=Pcos\theta+Qsin\theta$P′=Pcosθ+Qsinθ

则
$\begin{aligned}P_x^{'}&=P_xcos\theta-P_ysin\theta\\ P_{y}^{'}&=P_ysin\theta-P_xcos\theta\\ \end{aligned}$Px′​Py′​​=Px​cosθ−Py​sinθ=Py​sinθ−Px​cosθ​
写成矩阵为
$P^{'}=\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}P$P′=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]P

2.三维旋转变换

  注意$R_y(\theta)$Ry​(θ)与其他不同是因为如果按照逆时针旋转，由$x\times z=-y$x×z=−y,则得到$y$y轴负方向，因此需改为顺时针，即$-\theta$−θ,这无论是在左手坐标系还是右手系都是相同的。

3.向量$P$P绕任意轴$A$A旋转$\theta$θ角度证明：

  不妨设$A$A为单位向量，同时$P$P可分解为与$A$A平行和垂直的两个分量，分别为：
$\begin{aligned}P_{projA}&=(A\cdot P)A=AA^TP\\P_{perpA}&=P-(A\cdot P)A=P-AA^TP\end{aligned}$PprojA​PperpA​​=(A⋅P)A=AATP=P−(A⋅P)A=P−AATP​
如图所示

故最终结果
$P^{'}=P_{perpA}^{'}+P_{ProjA}$P′=PperpA′​+PProjA​
其中$P_{PerpA}^{'}$PPerpA′​为$P_{perpA}$PperpA​旋转$\theta$θ后得到的向量，如图

为求得其值，需找到一组线性组合来表示它，可选$P_{perpA}$PperpA​与其旋转90°后的向量这两个向量作为组合，可以得知$A\times P$A×P即为该向量，同时它的长度是与$P_{perpA}$PperpA​相等的，这是因为
$|A\times P|=|P|sin\alpha=|P-(A\cdot P)A|$∣A×P∣=∣P∣sinα=∣P−(A⋅P)A∣
所以
$P_{perpA}^{'}=[P-(A\cdot P)A]cos\theta+(A \times P)sin \theta$PperpA′​=[P−(A⋅P)A]cosθ+(A×P)sinθ
所以
$\begin{aligned}P^{'}&=[P-(A\cdot P)A]cos\theta+(A \times P)sin \theta+(A\cdot P)A\\&=Pcos\theta+A\times P sin\theta+(A\cdot P)A(1-cos\theta)\end{aligned}$P′​=[P−(A⋅P)A]cosθ+(A×P)sinθ+(A⋅P)A=Pcosθ+A×Psinθ+(A⋅P)A(1−cosθ)​
记$I$I为单位阵，则矩阵形式为
$P^{'}=\{Icos\theta+\begin{bmatrix} 0&-A_z&A_y\\A_z&0&-A_x\\-A_y&A_x&0\end{bmatrix}sin\theta+AA^T(1-cos\theta)\}P$P′={Icosθ+⎣⎡​0Az​−Ay​​−Az​0Ax​​Ay​−Ax​0​⎦⎤​sinθ+AAT(1−cosθ)}P
其中记
$R=Icos\theta+\begin{bmatrix} 0&-A_z&A_y\\A_z&0&-A_x\\-A_y&A_x&0\end{bmatrix}sin\theta+AA^T(1-cos\theta)$R=Icosθ+⎣⎡​0Az​−Ay​​−Az​0Ax​​Ay​−Ax​0​⎦⎤​sinθ+AAT(1−cosθ)
为罗德里格斯旋转公式，而将其展开写成一个矩阵就可得到旋转矩阵。