『动态规划·贪心』剪草

题目描述

数据范围

题解

我们思考一下，当结束前如果草被割了两次，其实可以将第一次留着不割，到第二次再割；因此每一草最多只会被割一次，这样才能够保证结果的最优性。

其次，若要割两个不同的草，并在不同的时间割除时，一定要先割生长速度的慢的草，再割快的草；因为在这一份间隔的时间内，生长速度快的草可以被割掉的更多。

或者有另外的一种理解方式：

• 第一种草的其实高度为$h_1$h1​,第二株草的起始高度为$h_2$h2​.它们的大小关系都不重要。
• 第一种草的生长速度是$g_1$g1​,第二株草的生长速度是$g_2,$g2​,令$g_1&lt;g_2.$g1​<g2​.
• 假设割掉两株草的时间间隔为t。
• 若先割第一株草，割掉的草是$S_1=h_1+h_2+t*g_2.$S1​=h1​+h2​+t∗g2​.
• 若现割第二株草，割掉的草是$S_2=h_1+h_2+t*g_1.$S2​=h1​+h2​+t∗g1​.
• 此时一定有$S_1&gt;S_2.$S1​>S2​.

综上所述，我们得到了一份贪心策略，按照$grow$grow值从小到大的顺序进行切割。

然后我们进行$DP$DP，设$f[i][j]$f[i][j]表示前i株草割了j株的最大切割数。

状态转移方程：$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]+h[i]+grow[i]*j).$f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−1]+h[i]+grow[i]∗j).

但是我们具体不知道第一天才能够完成，我们只要枚举这一个天数，用$day*sum_{grow}+sum_{h}≥f[n][day]$day∗sumgrow​+sumh​≥f[n][day]是否合法即可。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,h;
int sum = 0;
int sgrow = 0;
int f[100][100];
struct node
{
	int h,grow;
	friend bool operator < (node p1, node p2)
	{
		return p1.grow < p2.grow;
	}
} ;
node a[100];

int main(void)
{
	freopen("grass.in","r",stdin);
	freopen("grass.out","w",stdout);
	cin>>n>>h;
	for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i].h ,sum += a[i].h;
	for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i].grow, sgrow += a[i].grow;
	if (sum <= h) return puts("0"), 0; 
	sort(a+1,a+n+1);
	//f[i][j]表示前i个草 采了j株 采掉的最多的草
	memset(f,0,sizeof f);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=i;++j)
		    f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-1]+a[i].h+a[i].grow*j);
	for (int day=1;day<=n;++day)
		if (sum+day*sgrow-f[n][day] <= h) 
			return cout<<day, 0;
	return puts("-1"), 0;
}