解析几何 直线与平面 向量代数(1.1)

一.向量
1.概念:

2.向量的加减法:

①设$\vec{OA}=\vec a,\vec{AB}=\vec b$OA=a,AB=b则向量$\vec{OB}=\vec a+\vec b$OB=a+b
②$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$a+b=b+a(见图1.2)
③$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$(a+b)+c=a+(b+c)(见图1.3)
④$\vec a+\vec0=\vec a$a+0=a
⑤$\vec a+(-\vec a)=\vec0$a+(−a)=0
⑥$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$a−b=a+(−b)(见图1.4)
⑦$|\vec a+\vec b|≤|\vec a|+|\vec b|$∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
从②~⑥可知,向量的加法与减法的基本运算规律与实数的加法和减法完全相同

3.向量的数量乘法:

①$λ(μ\vec a)=(λμ)\vec a$λ(μa)=(λμ)a
②$(λ+μ)\vec a=λ\vec a+μ\vec a$(λ+μ)a=λa+μa
③$λ(\vec a+\vec b)=λ\vec a+λ\vec b$λ(a+b)=λa+λb
这里$λ,μ$λ,μ是任意实数,$\vec a,\vec b$a,b是任意向量

4.向量共线:

定理1:①设$A,B$A,B为不同的2点,则点$X$X在直线$AB$AB上的充要条件是:存在唯一1对实数$λ_1,λ_2$λ1​,λ2​,使得$\vec x=λ_1\vec a+λ_2\vec b\,(λ_1+λ_2=1)\qquad(1.1.4)$x=λ1​a+λ2​b(λ1​+λ2​=1)(1.1.4)这里向量的公共起点不在直线$AB$AB上.特别地,点$X$X落在线段$AB$AB上的充要条件是:存在唯一1对非负实数$λ_1,λ_2$λ1​,λ2​,使(1.1.4)式成立
②设$A,B,C$A,B,C为不在同一直线上的3点,则点$X$X在$A,B,C$A,B,C所决定的平面$\pi$π上的充要条件是:存在唯一1组实数$λ_1,λ_2,λ_3$λ1​,λ2​,λ3​,使得$\vec x=λ_1\vec a+λ_2\vec b+λ_3\vec c\,(λ_1+λ_2+λ_3=1)\qquad(1.1.5)$x=λ1​a+λ2​b+λ3​c(λ1​+λ2​+λ3​=1)(1.1.5)这里向量的公共起点不在平面$\pi$π上.特别地,点$X$X落在线段$\Delta ABC$ΔABC上的充要条件是:存在唯一1组非负实数$λ_1,λ_2,λ_3$λ1​,λ2​,λ3​,使(1.1.5)式成立
③设$A,B,C,D$A,B,C,D为不在同一平面上的4点,则点$X$X在$A,B,C$A,B,C所决定的四面体内的充要条件是:存在唯一1组非负实数$λ_1,λ_2,λ_3,λ_4$λ1​,λ2​,λ3​,λ4​,使得$\vec x=λ_1\vec a+λ_2\vec b+λ_3\vec c+λ_4\vec d\,(λ_1+λ_2+λ_3+λ_4=1)\qquad(1.1.6)$x=λ1​a+λ2​b+λ3​c+λ4​d(λ1​+λ2​+λ3​+λ4​=1)(1.1.6)

二.内积/外积/混合积
1.内积