考虑时空中的一条直线,选定一个原点,代表AB两点在时空中重叠事件。A,B两点相对以速度u相对匀速运动。该运动的时空图可以用二维仿射空间表示,对任意质点建立自己在时空中建立仿射坐标系。下面分别建立分别相对A静止的和相对B静止的两个坐标,分别记为A系和B系,A系和B系同一时空中的两个不同坐标系。本文分别讨论两个坐标系中,A的世界线、B的世界线和光子的世界线,以求得坐标变换式。
(注:世界线是质点在时空中的运动的描述,在惯性系中静止的质点世界线平行于时间轴;匀速运动或静止的质点世界线为直线,可以用一个矢量代表其世界线的方向。)
为了简化运算,我们假定某个时刻,AB两个质点重合,以此点为原点建立分别相对于A、B两点静止的两个坐标系。假设在某个坐标系下光速为c,AB相对速度为u;适当调整单位比如时间取秒,空间单位取光秒,这时光速为1,在该单位下面,AB相对速度数值为u/c,下文中取v=u/c.
1. 光子、B点的世界线在A系中的表达
假定A静止,为A建立时空坐标基矢。在二维时空中,取一个向量e1为时间轴,e2为A的同时面方向(考虑到空间只分析一维,同时面其实是直线)。适当选取不同的时间轴和同时面方向向量,可以使得光线的世界线方向为:
la=e1+e2(1)
在此坐标系下,B的世界线方向为:
Tb=(e1+ve2)
2. 光子、A点的世界线在B系中的表达
根据狭义相对性原理,建立B的坐标系应当与A有相同的表达式,做字母替换即可(但是应当注意,选定好速度的方向之后,AB的方向是相反的,v有号差)。
现在假定B系为参考系,B静止,A运动,取一个方向ϵ1为时间轴,ϵ2为B的同时面方向。
A系和B系对光子世界线方向描述一致:
lb=ϵ1+ϵ2(2)
在此坐标系下,
A的世界线方向为:
Ta=(ϵ1−vϵ2)
3. 相对性原理
考虑B质点的世界线方向,其在A坐标系是Tb,在B的坐标看ϵ1,因此这两个向量方向相同,“长度”相差常数因子为φ,有:
φTb=ϵ1=φ(e1+ve2)(3)
同理得到(
注意,根据相对性原理,坐标表达式应当一致,所以两个方程的常数因子相同,都是φ):
φTa=e1=φ(ϵ1−vϵ2)(4)
4. 求解基变换矩阵
联合(3),(4),得到A的同时面在B系中的表达式:
ϵ1=φ(φ(ϵ1−vϵ2)+ve2)⟹e2=(1−φ2)/φvϵ1+φϵ2(5)
同样有
B的同时面在
A系中的表达式:
e1=φ(φ(e1+ve2)−vϵ2)⟹ϵ2=(φ2−1)/φve1+φe2(6)
考察光子世界线,在AB两个坐标系下的表达式分别为(1),(2)两式,都表示光子世界线方向,方向应当相同,相差一个常数因子,即:
la=slb=e1+e2=s(ϵ1+ϵ2)
可以得到:
e1+e2=φ(ϵ1−vϵ2)+(1−φ2)/φvϵ1+φϵ2=(φ+(1−φ2)/φv)ϵ1+(φ−φv)ϵ2=s(ϵ1+ϵ2)⇒s=(φ+(1−φ2)/φv)=(φ−φv)⇒φ2(1−v2)=1
所以有
φ=1/1−v2−−−−−√ ,
(1−φ2)/φv=φv
由此有基矢变换为:
(e1e2)=11−v2−−−−−√(1vv1)(ϵ1ϵ2)
5. 坐标变换
在A坐标系中,任意点xe1+te2,在B系中表示为:yϵ1+sϵ2;则有:
(xt)=11−v2−−−−−√(xt)(1vv1)(ϵ1ϵ2)=(ys)(ϵ1ϵ2)
⇒(ys)=11−v2−−−−−√(xt)(1vv1)
得到:
y=(x+vt)/1−v2−−−−−√,s=(vx+t)/1−v2−−−−−√
取光速为c ,AB 相对速度为u,即v=u/c则有变换式如下:
y=x+ut/c1−(u/c)2−−−−−−−−−√
,
s=(ux/c+t)1−(u/c)2−−−−−−−−−√
备注:
同一时空中涉及到的五个矢量,分别是A的世界线、同时面,B的世界线、同时面,光子的世界线及其之间的关系如下图: