卷积的全面理解

• 卷积的连续形式：
  $({\rm f}*{\rm g})(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}{\rm f}(\tau){\rm g}(x-\tau){\rm d}\tau$(f∗g)(x)=∫−∞+∞​f(τ)g(x−τ)dτ
• 卷积的离散形式：
  $({\rm f}*{\rm g})(x)=\sum^{+\infty}_{\tau=-\infty}{\rm f}(\tau){\rm g}(x-\tau)$(f∗g)(x)=τ=−∞∑+∞​f(τ)g(x−τ)
  卷积是一个词，但是理解他要从其单独的两个字去理解，即分别理解 “卷” 和 “积”。

一、卷

卷就是翻转的意思，即在自变量方向，将函数${\rm g}(\tau)$g(τ)以自变量$\tau=0$τ=0为中心进行反转，得到${\rm g}(-\tau)$g(−τ)，然后再将变换后的函数${\rm g}(-\tau)$g(−τ)向右移动 $x$x个 单位，从而得到函数${\rm g}(x-\tau)$g(x−τ)。

• 这里或许你会疑问为什么向右移动$x$x个 单位是$-\tau+x$−τ+x，而不是$-\tau-x$−τ−x ？
  这是因为现在自变量已经是$-\tau$−τ，即当前$-\tau$−τ减小的方向是之前$\tau$τ增大的方向，但是有一点是不变的，当自变量加一个正数时，整个函数图像会沿着自变量减小的方向进行移动。

二、积

积就是积分，是对${\rm f}(\tau){\rm g}(x-\tau)$f(τ)g(x−τ)在$(-\infty,+\infty)$(−∞,+∞)范围内进行积分， 这里的约束是$x=\tau+(x-\tau)$x=τ+(x−τ)，$x$x既可以看成是卷积结果$({\rm f}*{\rm g})(x)$(f∗g)(x)的自变量，也可以看作是在积分过程中的常量。为什么要做这样的约束呢？因为实际问题常常会有这样的数学关系，因此卷积应用而生。

当然，我这里知识抛砖引玉，关于卷积的精彩解释，可以知乎里面名称为palet的精彩解释，点此链接，进入该网页，请往下翻，找用户名为“palet”的解释，如下图所示。