关于排列组合中的一个重要公式的理解

关于排列组合中的一个重要公式的理解

重要公式：
$C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m （*）$Cnm​+Cnm−1​=Cn+1m​（∗）
说明： 相信这个公式在很多人眼里都是耳熟能详的了。但是很奇怪的一件事情是，没有很好的数学理解行为习惯(或者没有深刻的认识)，这个公式很容易忘记，下面就介绍该如何感性地理解这个公式。

具体理解：
假设我们有一堆球共计 $n+1$n+1 个(其中 $n$n 个白球，$1$1个红球)。

现在我们要在这 $n+1$n+1 个球里面取出 $m$m 个球，共有 $C_{n+1}^m$Cn+1m​ 种取法，即(*)式右边。
我们对这 $m$m 个球作出分析，无非是两种情况 (图中"+"标记的球即为取到的球) ：

情况1. $m$m 个球全是白球。
情况2. $m$m 个球有 $m-1$m−1 个白球，$1$1个红球。

对于情况1对应公式 $C_n^m$Cnm​ 种，理解为 $n$n 个白球里面选 $m$m 个球。

对于情况2对应公式 $C_n^{m-1}=C_n^{m-1}*C_1^1$Cnm−1​=Cnm−1​∗C11​ 种，理解为我们在 $n$n 个白球里面取出 $m-1$m−1 个白球，在1个红球里面取出1个球。

这样一来，理解与记忆 (*) 式也便容易了许多。