数学期望

1. 泊松分布的期望为λ
2. 指数分布的期望为1/λ

随机变量函数的数学期望

$E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$E(Y)=E(g(X))=∫−∞+∞​g(x)f(x)dx
重要意义在于，求Y的期望时只需要利用X的分布律和概率密度函数即可

数学期望的特性

1. $E(aX+bY+c) = aE(X)+bE(Y)+c$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c
2. 若X,Y相互独立，则有$E(XY)=E(X)E(Y)$E(XY)=E(X)E(Y)

方差

定义：
$Var(X)=E([X-E(X)]^2)$Var(X)=E([X−E(X)]2)
对于连续型随机变量有
$Var(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[X-E(X)]^2f(x)dx$Var(X)=∫−∞+∞​[X−E(X)]2f(x)dx
简便计算公式：
$Var(X) = E(X^2)-[E(X)^2]$Var(X)=E(X2)−[E(X)2]

方差的性质

随机变量独立时有
$Var(aX+bY+C)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)$Var(aX+bY+C)=a2Var(X)+b2Var(Y)

常见分布的期望与方差

定理：独立地n个正态变量的线性组合仍然服从正态分布

协方差与相关系数

协方差

协方差的定义：$Cov(X,Y)=E\{ [X-E(X)][Y-E(Y)]\}$Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}
协方差的计算公式：$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)
方差性质的补充：$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)

协方差的性质

1. $Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
2. $Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$Cov(X1​+X2​,Y)=Cov(X1​,Y)+Cov(X2​,Y)

相关系数

称为X与Y的相关系数
注意：

1. 当X,Y为完全线性关系是ρ=1
2. 对于二元正态变量(X,Y)来说，X和Y不相关$\Leftrightarrow$⇔X与Y相互独立（但是对于其他分布来说不一定）

其他数字特征

k阶矩，k阶中心距，k+l阶混合矩，k+l阶混合中心距…

多元随机变量的数字特征

n元随机变量X的数学期望：$E(X)=(E(X_1),E(X_2),...E(X_n))^T$E(X)=(E(X1​),E(X2​),...E(Xn​))T
n元随机变量的协方差矩阵：


n元正态变量的重要性质：

1. 若X1,X2…Xn都是正态变量且相互独立则（X1,X2…Xn）是n元正态变量
2. （X1,X2…Xn）服从n元正态分布$\Leftrightarrow$⇔X1,X2…Xn的任意线性组合服从正态分布