随机变量的数学期望

最常用的数字特征

• 数学期望
• 方差
• 协方差及相关系数
• 矩

离散型随机变量的数学期望

设X是离散型随机变量，它的分布律是: ，若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为。即   

离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。数学期望简称期望，又称为均值。

连续型随机变量的数学期望

设X是连续型随机变量，其密度函数为,如果积分绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即

 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.

随机变量函数的数学期望

数学期望的性质

1. 设C是常数，则E(C)=C
2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X)
3.  E(X+Y) = E(X)+E(Y)
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)

由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立

随机变量的方差

  设X是一个随机变量，若存在 , 称为 X 的方差.  记为D(X)或Var(X)，即

方差的算术平方根称为X的标准差或均方差，即为，它与X具有相同的量纲。

计算方差的一个简化公式：

（0-1）分布

• 期望：
• 方差：

伯努利分布：（（0-1）分布+期望方差的性质）

• 期望：
• 方差：

泊松分布

• 期望：
• 方差：

均匀分布

• 期望：
• 方差：

指数分布

• 期望：
• 方差：

正态分布

• 期望：
• 方差：

标准正态分布：

• 期望：
• 方差：

方差的性质

1.  设C 是常数, 则 D(C)=0
2. 若 C 是常数, 则
3.  设 X 与 Y 是两个随机变量，则
   1. 若 X,Y 相互独立, 由数学期望的性质得
4. 这里C=E(X)

协方差与相关系数

协方差

量称为随机变量X和Y的协方差,记为 ，即    

协方差的简单性质

• 
• ,  a,b  是常数
• 
• 
• 若X 与 Y 独立，
• 
• 

 

 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.   例如：

         

为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .

相关系数

设，称为随机变量X和Y的相关系数。

性质

1. 
2. X和Y独立时，，但其逆不成立。
3. 存在常数，使，即X和Y以概率1线性相关。
4. 若， Y 与 X 无线性关系，即不相关
5. 若，的值越接近于1，Y和X的线性相关程度越高，的值越接近于0，Y和X的线性相关程度越弱

对一般二维随机变量(X,Y)：独立不相关。

对服从二维正态分布的随机变量(X,Y) ：X,Y独立X,Y不相关。

矩与协方差矩阵

 原点矩，中心矩

设X和Y是随机变量，

若存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。

若  存在，称它为X的k阶中心矩

均值E(X)是X一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩

 

设 X 和 Y 是随机变量，

若存在，称它为X和Y的k+l阶混合（原点）矩。

若  存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩

协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩

协方差矩阵