牛顿切线法
关键字：牛顿(Newton)迭代公式，几何意义，收敛速度，收敛定理，多重根
参考：https://wenku.baidu.com/view/9fa19f3bfe00bed5b9f3f90f76c66137ee064fcd.html
一、步骤
对于，假设一个近似解为
（因为可能会有很多根），那么在近似解附近的一阶泰勒展开式可以写成
对于且
，可以近似写成
解得
将新得到的x作为近似解，令，再带入上式，得到一个迭代公式
该迭代公式叫牛顿(Newton)迭代公式
二、牛顿迭代法的几何意义
当，那么它的根就代表了曲线
与
相交的横坐标。如果选定好了初始位置
，那么在
处的切线为
，该切线与x轴的交点的横坐标为
，再从
做切线，然后找交点，再做切线......那么递推公式为
，如下图所示
因为是不断的做切线，牛顿迭代法也叫牛顿切线法
三、牛顿迭代法的收敛性和收敛速度
3.1 存在定理
设在
满足
并且
都存在且符号都保持不变
那么方程在
上有且只有一个实根，迭代法得到的序列
收敛于该实根
3.2 收敛定理
如果为单根，那么牛顿迭代法在根
附近至少二阶收敛
3.3 收敛速度
当为m重根，那么
可以表示为
，其中
，此时牛顿迭代法求
仍然收敛，但是速度会大大减慢。