FIR滤波器、单位冲激响应、线性相位、窗函数法

1.FIR滤波器
(1.)有限脉冲响应滤波器，也就是该系统的单位脉冲响应h(n)的长度是有限的，而不是两边无限延伸。
线性时不变系统的输出：y(n)=x（n）与h(n)的卷积，其中h(n)为单位取样脉冲响应。
对应的在频域：y=x*h。
(2.)稳定系统：对于任意的有界输入信号，系统的输出也是有界。对于线性时不变系统来说，系统是稳定系统的充要条件是系统的单位取样响应是绝对可和的，也就是：

因为FIR滤波器的单位取样响应是有限的，所以FIR滤波器系统一定是一个稳定系统。
（3.）因果系统：某时刻的输出值只取决于此时刻和此时刻以前的输入值的系统。对于线性时不变系统，系统是因果系统的充要条件是系统的单位取样响应满足：h(n) = 0 ，n<0
FIR滤波器系统是因果系统。
（4.）线性相位系统：线性相位系统可以保证所有通带内的输入信号的相位响应都是线性的，即保证了输入信号的延时特性。对输入信号来说，各频率成分的信号之间的相对相位是固定的，在接收端，只要同步了输入信号中的某个频率成分的信号（最常见的是载波信号），则相当于同步了所有输入信号的相位。这样才可能进行正确的数据解调。非线性相位系统，通过该系统后，通带内各频率成分的输入信号之间的相对相位发生了改变，无法通过只同步某个频率成分的信号来同步通带内所有信号的相位。如果一个滤波器只为了获取一个频率成分的信号，系统是否为线性相位影响不大，例如仅为提取载波信号的载波同步系统正是这样的系统。
当滤波器系统具有线性相位响应特性时，通带内的群延迟特性就应当是一个常数，为相位对角频率的导数的负值，延迟偏离一个常数的偏差表示相位的非线性程度。
当FIR滤波器单位取样响应h(n)满足对称条件时，FIR滤波器才具有线性相位特性。所以见到的FIR滤波器的系数都对称的，滤波器的系数也就是单位冲激响应h(1)、h(2）等。
对称分奇对称和偶对称，如偶对称：h(n) = h(M-n) , n大于等于0，小于等于m。
在分析幅频时，进一步分为偶数的偶对称，奇数的偶对称，偶数的奇对称，奇数的奇对称四种。

所谓偶数奇数也代表单位取样响应的个数。
上面的为时域特性
不同的单位冲激响应特性对应的是不同的结构，对应的也就是不同的FIR滤波器特性。


根据滤波器的直接型结构，也就了解了滤波器的阶数其实就是表征滤波器的单位冲激响应h(n)的个数多少，也就是滤波器的乘法运算的系数的多少。
而滤波器的级联，则是滤波器的前后连接，滤波器的级数与阶数不同。
2.窗函数法设计方法
一种在时域设计FIR滤波器的方法。
思路：首先在频域给出要求的理想滤波器频率响应，然后设计一个FIR滤波器频率响应去接近该理想响应。之后傅里叶反变换到时域，在时域中设计一个FIR滤波器的单位取样响应h(n)去逼近理想频率响应反傅里叶变换得来的单位取样响应h(d)。如何逼近呢，就是用无限长的取样响应h(d)乘以一个窗函数w(n)，相当于对h(d)进行了截断，这样就h(d)和h(n)就接近了。不同的窗函数逼近效果不同，设计的一些参数也不同。
同时要是因果系统，就要往右平移，刚好与群延时对应。只要设置好群延时，也就平移，也就因果系统了。


参考：书籍《数字滤波器的MATLAB与FPGA实现》—杜勇