向量与矩阵求导与实例分析
【说明】
1. 相关内容经过诸多学习内容整理
2. 比较权威的学习源可参考* https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_calculus#Scalar-by-vector_identities
3. 机器学习关联内容学习： 1）西瓜书第55页多元线性回归涉及到的公式推导 2）机器学习实战 第138页
目录
一，布局的概念
重要前提： 若 x 为向量，则默认 x 为列向量， 为行向量
布局简单地理解就是分子 y、分母 x 是行向量还是列向量。
-
分子布局（Numerator-layout）： 分子为 y 或者分母为
(即，分子为列向量或者分母为行向量)
-
分母布局（Denominator-layout）： 分子为
或者分母为 x (即，分子为行向量或者分母为列向量)
为了更加深刻地理解两种布局的特点和区别，下面是从*中布局部分拿来的例子：
分子布局
- 标量/向量：
（分母的向量为行向量）
- 向量/标量：
（分子的向量为列向量）
- 向量/向量：
（分子为列向量横向平铺，分母为行向量纵向平铺）
- 标量/矩阵：
（注意这个矩阵部分是转置的，而下面的分母布局是非转置的）
- 矩阵/标量：
分母布局
- 标量/向量:
(分母的向量为列向量）
- 向量/标量：
(分子的向量为行向量)
- 向量/向量：
（分子为行向量纵向平铺，分母为列向量横向平铺）
- 标量/矩阵：
（矩阵部分为原始矩阵）
二、一个求导的例子(线性回归中正规方程)
在 scalar-by-vector 表格中对应于红线部分
三、另一个例子的推导
看看红框部分的推导过程如下：
对谁求导数，就以谁（分母）作为主序，得出结果。比如这里x是列向量，求Ax关于x求导数，那么对x的每个分量分别求偏导数(写成一行)，然后整理排成一列（同x一样是列向量）。
同理有
关于x的转置求导数，
是行向量，那么Ax分别对
向量中的分量求偏导（写成一列），然后整体排成一行（同
是行向量）。
这里，可以反过来再去理解下前面布局所述的行向量与列向量的差异。