第二周题目

1、生日问题：有n个人默认是同一年出生，考虑至少有两个人同一天生日的概率

$A={至少有两个人生日是同一天}$A=至少有两个人生日是同一天

$P(A)=1-P(A逆)$P(A)=1−P(A逆)

$P(A逆)=\frac{A_{365}^n}{365^n}$P(A逆)=365nA365n​​

$P(A)=1-\frac{A_{365}^n}{365^n}$P(A)=1−365nA365n​​

2、一个计数问题
①10个人结对进行乒乓球练习，有多少种结对方式
②10个人平均分成5组，进行周一至周五的卫生打扫，有多少种分组方式

$①P(A)=\frac{C_{10}^{2}C_8^2C_6^2C_4^2}{5!}$①P(A)=5!C102​C82​C62​C42​​

$②P(A)=C_{10}^{2}C_8^2C_6^2C_4^2$②P(A)=C102​C82​C62​C42​

3、将n根绳子的2n个头任意两两相接，求事件A={恰接成一个圆}的概率

$P(A)=\frac{\#A}{\#Ω}$P(A)=#Ω#A​

$一共有2n个头，第一次可选2n种，第二次可选2n-1种......直至最后的1种$一共有2n个头，第一次可选2n种，第二次可选2n−1种......直至最后的1种

$∴\#Ω=(2n)!$∴#Ω=(2n)!

$一共有2n个头，第一次连接需要找两个头（第一个头有2n种选法，第二个头有2n-2种选法）有2n*(2n-2)种情况，第二次连接有(2n-2)*(2n-4)种情况，直到最后一次仅剩2个头有2种情况$一共有2n个头，第一次连接需要找两个头（第一个头有2n种选法，第二个头有2n−2种选法）有2n∗(2n−2)种情况，第二次连接有(2n−2)∗(2n−4)种情况，直到最后一次仅剩2个头有2种情况

$∴\#A=2n*(2n-2)*(2n-2)*(2n-4)......4*2*2=(2n)!!(2n-2)!!$∴#A=2n∗(2n−2)∗(2n−2)∗(2n−4)......4∗2∗2=(2n)!!(2n−2)!!

$P(A)=\frac{(2n)!!(2n-2)!!}{(2n)!}$P(A)=(2n)!(2n)!!(2n−2)!!​

4、甲有n+1个硬币，乙有n个，每个硬币均抛一次，求甲掷出的正面次数比乙掷出的正面次数多的概率

$P(A)=\frac{1}{2}$P(A)=21​

5、有几条等距的线，间距为d，针长为l（l<=d），抛出针，求针与线相交的概率

$设针的中点到线的距离为x，针与线的夹角为θ$设针的中点到线的距离为x，针与线的夹角为θ

$∵0 \leq x \leq d/2，0\leq θ \leq pi$∵0≤x≤d/2，0≤θ≤pi

$相交要满足x\leq l*sinθ/2$相交要满足x≤l∗sinθ/2

$转化为一个几何模型$转化为一个几何模型

$μ(A)=∫_0^{pi}l*sinθ/2=l$μ(A)=∫0pi​l∗sinθ/2=l

$μ(Ω)=d*pi/2$μ(Ω)=d∗pi/2

$P(A)=\frac{μ(A)}{μ(Ω)}=\frac{2l}{d*pi}$P(A)=μ(Ω)μ(A)​=d∗pi2l​