双边滤波器
参考该文献：双边滤波器
Introduction
滤波可能是图像处理和计算机视觉中最基本的操作。从广义上来讲，在滤波后的图像中，给定位置的像素的值是输入图像中相同位置的邻域的像素值的函数。例如高斯低通滤波器计算邻域中像素值的加权平均值。该滤波器的权重值，随着像素与邻域中心的距离的增大而变小。虽然可以给出权重随距离下降的正式的和定量的解释，但从人的知觉上图像在空间平面上是缓慢地变化的，因此相近的像素很可能有相似的值，因此可以对它们取平均值。与信号值相比，相邻像素上的噪声值相互之间相关性较低，因此通过平均操作噪声被平均掉了，同时信号被保留下来。
上述“像素值在空间平面的缓慢变化”的假设在图像的边缘处不成立了，通过线性的低通滤波器处理的边缘变得模糊了。我们如何防止边缘处被平均，同时在平滑区域仍进行平均操作？许多努力致力于减少这种不良效果。双边滤波是一种简单的、非迭代的、边缘保护的滤波方法。
The Idea
双边滤波的基本思想是在图像的范围内进行传统滤波在其邻域中所做的事情。两个像素彼此接近，即占据临近的空间位置。或者它们可以彼此相似，即有接近的像素值，可能具有感知上有意义的样式。
考虑将一个平移不变的低通滤波器应用到一个图像
黑体的f和h强调了输入和输出图像可能是多频带的。为了保存直流部分，
幅度滤波类似地可以定义为：
在这种情况下，核度量像素之间的光度相似度。这种情况下归一化常数是：
图像强度的空间分布对其本身所采取的范围滤波不起作用。由于远离x的图像灰度值的分布不应该影响x处的最终的值。此外，人们可以证明没有域滤波的范围滤波只是改变了图像的颜色表，因此用处不大。适当的方案是将域滤波和范围滤波结合起来，从而实现几何和光强度的局部性。联合滤波如下描述：
归一化参数
联合的域和范围滤波将被表示为双边滤波。它将x处的像素值替换为相似和相邻像素值的平均值。在平滑的区域，小邻域中的像素值彼此相似，双边滤波器实质上起到标准域滤波器的作用，平均掉由噪声引起的像素值之间的小的，弱相关的差异。现在考虑一个黑暗和明亮区域之间的明显边界，如图1（a）所示。
(a)
(b)
(c)
当双边滤波器居中时，比如说，在边界亮边的一个像素上，相似性函数s对于同一边的像素采用接近于1的值，而对于黑色侧的像素接近于零。中心在灰度台阶右侧2个像素位置的23x23滤波器的相似函数如图1(a)所示。归一化项k（x）确保所有像素的权重合计为1。 结果，滤镜将中心处的亮像素替换为其附近的亮像素的平均值，并且基本上忽略了暗像素。 相反，当滤镜以暗像素为中心时，亮像素将被忽略。 因此，如图1（c）所示，得益于滤波器的域分量，在边界处获得了良好的滤波性能，并且由于范围分量，同时保留了清晰的边缘。
The Gaussian Case
双边滤波器一个简单的重要的特例是平移不变的高斯滤波器，接近函数c和相似函数s是它们的参数之间的欧几里德距离的高斯函数。更特殊地是，c是径向对称的。
是欧式距离。相似度函数s完全类似于接近函数c：
是灰度级强度空间中距离的合适的度量。在标量情况下，这可能仅仅是像素差异的绝对差异，或者由于噪声随着图像灰度值的增加而增加，这是与灰度级的值有关的函数。正如这种形式的域滤波是平移不变的，上面介绍的高斯范围滤波对图像灰度级总体的附加变化不敏感。当然，范围滤波器也是平移不变的。
Experiments with Black-and-White Images
图像2(a)和(b)显示了双边滤波器去除图像纹理的潜能。图2(b)说明的“图像简化”可以在不损失图像整体形状特征的情况下实现数据的压缩，这可以应用到图像传输，照片编辑和处理，图像检索。
(a)
(b)
对图像3(a)进行双边滤波，滤波器的参数 σd =3 σr =50，滤波结果如图3(b)所示。大多数细密的纹理已经被滤除掉了，但所有的轮廓和原始的图像中一样清晰。图像3(c)显示了图像3(a)的细节，图像3(d)显示了图像3(b)对应的细节部分。这2个图中的洋葱呈现相似的外观，细密的纹理已经被滤除了。然而，总体着色被保留下来，因为它完全位于域过滤器的范围内，并且几乎不受范围过滤器的影响。 此外，洋葱的边界被保留下来。
(a)
(b)
(c)
(d)
Experiments with Color Images
对于黑白图像，任何两个灰度级之间的强度值仍然是灰度值。 因此，当使用标准低通滤波器对黑白图像进行平滑处理时，会在边缘处产生中等灰度级，从而产生模糊的图像。对于彩色图像来说，由于任何两种颜色之间存在其他颜色，往往是截然不同的颜色，所以会产生额外的复杂性。 例如，在蓝色和红色之间有各种各样程度的粉红色和紫色。 因此，当跨越彩色边缘平滑时，可能产生干扰色带。 平滑后的图像不仅看起来模糊，还在物体周围展现出看起来奇怪的彩色光环。
(a)
(b)
(c)
(d)
图4（a）显示了一张对着蓝色天空的红色外套照片的细节。即使在这张没有模糊的照片中，也可以看到一条薄的粉红色紫色线条，这是由镜头模糊和像素平均相结合造成的。事实上，当投射回现场时，沿着边界的像素与红色外套和蓝色天空相交，所得到的颜色是粉红色，红色和蓝色的平均值。平滑时，突出了这种效果，如图4（b）中宽的而模糊的粉红色紫色区域所示。
为了解决这个困难，可以将边缘保留的平滑滤波分别应用于图像的红色，绿色和蓝色通道图像。但是，三个通道图像中边缘处的强度分布通常是不同的。如图4（c）所示，分别地平滑三个通道图像，会产生比原始色带更明显的粉红色和紫色带。然而，粉红色紫色带没有像图4（b）的标准模糊版本那样变宽。
双边过滤可以获得更好的结果。实际上，双边滤波器允许合适地组合三个色带，并测量组合空间中像素之间的光度距离。此外，通过在CIE-Lab色彩空间中使用欧几里得距离，可以使这种组合距离与感知的不相似性密切对应。该色彩空间基于大量由人类观察者进行的关于色彩匹配实验的心理物理学数据。在这个空间中，小的欧几里德距离被设计为，与“平均”颜色正常的人类观察者所经历的颜色差异的感知强烈相关。因此，从某种意义上说，在CIE-Lab色彩空间中执行的双边滤波是彩色图像最自然的滤波类型：只将知觉上相似的颜色一起取平均值，并且只保留感知上重要的边缘。图4（d）显示了由图4（a）中的图像双边平滑产生的图像。粉红色的带子大大缩小，并且不会出现无关的颜色。
(a)
(b)
(c)
图5（c）显示了图5（a）中图像的双边滤波的五次迭代的结果。尽管单次迭代产生比原始图像更清晰的图像（图5（b）），并且对于大多数图像处理需求来说可能已足够，但多次迭代具有使图像中的颜色显着变平的效果，但没有模糊边缘。 生成的图像具有更小的颜色映射，并且在打印页面上显示时，双向过滤的效果更容易看到。 注意图5（c）的卡通状外观。 所有的阴影和边缘都被保留下来，但大部分阴影都没有了，滤波器不会引入“新”颜色。