Laplace transform
变换的目的：让一种处理方式转换为另一种处理方式（最显然的影响是，乘法比卷积简单，或者系统特性更容易观察）。
对象：连续系统。变换前后：常系数微分方程-代数方程。
常系数微分方程是用来描述连续系统的，进行LT之后的代数方程也能起到这个作用，而且形式更简单。

1 LT的定义

1.1 LT的类型和定义式

（1）双边LT（下标带b）

其实是把FT的jw改成了s，而LT中的s=σ+jw，相当于FT定义在虚轴上，而LT定义在整个s平面，进行了拓展。上式代入s=σ+jw：

也可以认为双边LT是信号乘以指数函数之后，再进行FT。
（2）单边LT
把双边的拆开：

规定f(t)是因果的（t<0的时候是0），那么：

这是单边LT（下面简称LT，而双边的LT会特地说明），没有下标b了。
一般把f(t)称为原函数，F(s)称为相函数。

1.2 ILT

反演积分：

这个积分是在s平面的一条竖直线上进行的。不管是对单边还是双边LT，ILT都是这个形式（没研究为啥），但是对于单边LT对应的ILT，规定t<0时f(t)=0，从而保证ILT(LT(f(t)))=f(t)。
如果f(t)在t=t_a处不连续，那么定义

一般求ILT的时候不用这个积分公式，太烦了，一般是查表。

1.3 可以进行LT的条件与收敛域概念

如果f(t)是指数阶函数，它就可以进行LT。
指数阶函数：当t大于有限值t_0时，如果存在两个正实常数M和a，使得：

那么f(t)就是指数阶函数。可以理解为某种“特殊的有界”：一般的有界是|f(t)|<M，即“M可以笼罩f(t)”，f(t)是“常数阶函数”；这里是“Me^(at)可以笼罩f(t)”，f(t)就称“指数阶函数”。
至于为什么是指数阶函数？可能是由于LT的定义式中f(t)乘以了e^ (-st)，因此，一个指数阶函数f(t)才能产生一个极小量f(t)e^ (-st)，满足0到∞可积而不发散。

这里的LT存在条件也是要让积分结果是有限量。这里的存在条件可以视为：s在右半平面。下面这个例子也差不多：存在条件是s在-a的右面。

收敛域：LT在s平面存在（即f(t)可以进行LT）的区域称收敛域（region of convergence, ROC）。
重新审视ILT的定义：

参数c是自己选的，要求它在LT的收敛域内（但一般不用积分求ILT，知道就好）。c的最小值称为绝对收敛坐标。
双边LT的时候要格外注意收敛域问题！

2 常见函数的LT

7.1里面已经求过了两个，再求点别的。要注意的是，每个LT都有对应的收敛域，只不过在做单边LT的时候没有太明显的影响，强调得比较少。

2.1 阶跃函数

（收敛域s>0）

2.2 指数函数

（收敛域s>-a）

2.3 单位冲激函数

因为

所以

即

如果t_0=1，就是单位冲激函数，对应：

2.4 正弦函数

因为

代入指数函数的LT后，得到


类似地有

2.5 衰减余弦函数和衰减正弦函数

因为

所以

对比一下4和5里面的结论：

这里其实藏了一个复频移特性（时域乘指数=频域平移，因为s一般是复数，所以a也可能是复数，所以叫“复”频移）：

类似的，根据

很容易有

但是——

一般来说

2.6 单位斜坡函数

把被积变量换元成st：

即

2.7 总结

3 LT的性质

3.1 线性变换

3.2 时域微分特性

但f(t)在t=0处一般是不连续的；另外，f(0)的值应该要保证不影响到LT。所以，用f(0+)代替f(0)：

推广到更高阶：

这条性质要求用到的导数都存在，并且这条性质不能用在单位阶跃函数上。

这个性质主要用来对微分方程进行LT。
（1）一个例子
对于下面的电路

激励电压V是常数，电路的微分方程是

LT得到：

右边V是常数，不管，剩下的是对u(t)进行LT，前面推过，是1/s。
初值：因为t<0时开关未闭合，i(0)=0，而且有电感，电流不可能突变，所以i(0+)=0。代入求解得：

然后进行ILT就可以得到i(t)了。但是这个I(s)比较复杂，查表没有直接的ILT方法，用部分分式展开：

求出待定系数：

然后再查表，就有了：

（要求t>0，因为i(t)要求是因果的）
（2）另一个例子
一方面，有

另一方面，根据

所以

二者相等。

3.3 时域积分

这条性质也可以推广到n阶。
（1）用时域积分性质求单位斜坡函数的LT
因为

所以

3.4 复频移特性

3.5 时间变换运算

（1）时域平移
以斜坡函数为例，有

令τ=t-t_0，那么t=τ+t_0，dt=dτ，得到

因为这里的τ只是积分变量，可以重新写成t，而积分结果就是F(t)，所以有

其中t_0>=0。
（2）时间变换运算
对时域平移进行推广：

（3）利用时域平移特性求延时指数函数的LT
由

进行延时：

即

根据性质得到：

（4）复杂延时函数的LT
对于

它的波形与（1）中不同，形状不移动，只是截的区域往右移了：

整理一下，凑出能用性质的形式：

然后利用性质得到

（5）分段线性函数的LT
对于下面这个函数

它的表达式是

每一项都符合延迟函数的特性，所以

即

一般来说，F(s)是多项式形式，这里出现了指数，能够反推系统是有延时环节的。
（6）时间变换的实例

3.6 时间函数与t相乘

（1）例子
根据

有

（2）例子

3.7 初值定理

用途：从F(s)直接求f(0+)，而不需要先进行ILT

条件：s取正实数，f(t)在t>=0时必须是连续的，在有限时间内只能有有限个间断点。
这条性质可以用于线性系统分析。

3.8 终值定理

条件：f(t)具有终值，且在t>=0时连续，在有限时间内只能有有限个间断点。注意：即使f(t)没有终值，按公式算也能得到一个有限值，但是是错的！

3.9 总结

参考文献

[1]Charles L.Phillips,John M.Parr,Eve A.Riskin(2014).信号、系统和变换(陈从颜等).北京:机械工业出版社(2015.1).